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设抛物线C：y2=4x焦点为F，直线l与C交于A，B两点．
（1）若1过F且斜率为1，求|AB|；
（2）若不过坐标原点O，且OA⊥OB，证明：直线l过定点．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【答案】（1）8；
（2）证明：直线l的斜率不为0时，可设直线l的方程为x=my+a（a≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）；
由
，消去x，得y2-4my-4a=0，
则y1y2=-4a；
又x1=，x2=，
∴x1x2===a2，
又∵OA⊥OB，
∴•=x1x2+y1y2=0，
即a2-4a=0，
又∵a≠0，∴a=4；
∴直线l：x=my+4恒过定点M（4，0）．
（2）证明：直线l的斜率不为0时，可设直线l的方程为x=my+a（a≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）；
由
x = my + a |
y 2 = 4 x |
则y1y2=-4a；
又x1=
y
1
2
4
y
2
2
4
∴x1x2=
（
y
1
y
2
）
2
16
（
-
4
a
）
2
16
又∵OA⊥OB，
∴
OA
OB
即a2-4a=0，
又∵a≠0，∴a=4；
∴直线l：x=my+4恒过定点M（4，0）．
【解答】
【点评】
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发布：2024/5/23 20:38:36组卷：299引用：3难度：0.5
