如图1，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是AB的中点，点E在线段AC上，连结DE，作DF⊥DE交直线BC于点F，连结EF．
【初步尝试】
（1）如图2，当AE=4，线段EF的长度是 55，线段BF的长度是 33．
【结论探究】
（2）如图1，小宁猜想“AE2+BF2=EF2”，但她未能想出证明思路，小波介绍了添加辅助线的方法，如表所示，请帮小宁完成证明．
| 如图，延长ED至G，使DG=DE，连结BG，FG． |
|
（3）如图3，当点E在线段CA的延长线上时，连结DE，作DF⊥DE交直线BC于点F，连结EF．请补全图形，并求出当AE=2时，线段BF的长．
【考点】三角形综合题．
【答案】5；3
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：484引用：1难度：0.1
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1．【问题呈现】某学校的数学社团成员在学习时遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在DC的延长线上，过E作EF∥AB交AC的延长线于点F，当BD：DE=1时，试说明：AF+EF=AB；
【方法探究】
社团成员在研究探讨后，提出了下面的思路：
在图1中，延长线段AD，交线段EF的延长线于点M，可以用AAS明△ABD≌△MED，从而得到EM=AB…
（1）请接着完成剩下的说理过程；
【方法运用】
（2）在图1中，若BD：DE=k,则线段AF、EF、AB之间的数量关系为 （用含k的式子表示，不需要证明）；
（3）如图2，若AB=7，EF=6，AF=8，BE=12，求出BD的长；
【拓展提升】
（4）如图3，若DE=2BD，连接AE，已知AB=9，tan∠DAF=，AE=212，且AF＞EF，则边EF的长=．17
发布：2025/5/25 0:0:2组卷：320引用：4难度：0.2 -
2．如图，OC为∠AOB的角平分线，∠AOB=α（0°＜α＜180°），点D为射线OA上一点，点M，N为射线OB上两个动点且满足MN=OD，线段ON的垂直平分线交OC于点P，交OB于点Q，连接DP，MP．
（1）如图1，若α=90°时，线段DP与线段MP的数量关系为 ．
（2）如图2，若α为任意角度时，（1）中的结论是否变化，请说明理由；
（3）如图3，若α=60°时，连接DM，请直接写出的最小值．DMON发布：2025/5/25 1:0:1组卷：92引用：2难度：0.1 -
3．在△ABC中，AB=BC，∠B=45°，AD为BC边上的高，M为线段AB上一动点．
（1）如图1，连接CM交AD于Q，若∠ACM=45°，AB=．求线段DQ的长度；2
（2）如图2，点M，N在线段AB上，且AM=BN，连接CM，CN分别交线段AD于点Q、P，若点P为线段CN的中点，求证：AQ+CD=AB；2
（3）如图3，若AD=4，当点M在运动过程中，射线DB上有一点G，满足BM=10DG，AG+2MG的最小值．55
发布：2025/5/24 23:0:1组卷：102引用：1难度：0.1
