【问题再现】：
（1）如图1，平行四边形ABCD的对角线交于点O，点E，F在对角线BD上，连接AE，CF．若再增加一个条件，便可证明出AE=CF．
针对上述问题，小明添加的条件是“DE=BF”；小强添加的条件是“AE∥CF”．请你替小明或小强完成证明过程；（即任选其中一种方法证明）
【问题探究】：
（2）如图2，平行四边形ABCD的对角线交于点O，过点B的直线与对角线AC交于点P，分别过点A，C作直线BP的垂线，垂足分别为点E，F，连接OE，OF．
①求证：OE=OF；
②若∠OEF=30°，探究AE，CF，OE间的等量关系，并证明；
【问题拓广】：
（3）如图3，平行四边形ABCD的对角线交于点O，过点B的直线与对角线CA的延长线交于点P，分别过点A，C作直线BP的垂线，垂足分别为点E，F，连接OE，OF．若∠OEF的度数记为α，请写出AE，CF，OE间的等量关系，并证明．
【考点】四边形综合题．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）①证明见解析过程；
②CF=OE+AE，证明见解析过程；
（3）CF=2OE•sinα-AE，证明见解析过程．
（2）①证明见解析过程；
②CF=OE+AE，证明见解析过程；
（3）CF=2OE•sinα-AE，证明见解析过程．
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2025/5/21 22:0:1组卷：168引用：3难度：0.1
相似题
-
1．△ABC和△ADF均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿AB、BC运动，运动到点B、C停止．
（1）如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段CD、EF的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）当点D运动到什么位置时，四边形CEFD的面积是△ABC面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形BDEF是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明．发布：2025/5/22 15:30:1组卷：2110引用：10难度：0.1 -
2．如图，在△ACB和△ABD中，∠C=∠ABD=90°，AC=BC=2，AB=BD，P为AC上一点（不与点A、C重合），连接PB，作PB⊥BQ交AD于点Q．
（1）求证：PB=BQ；
（2）求证：AP+AQ=2BC；
（3）如图2，若P为AC的中点，连接CQ分别交BP、AB于点E、F，求的值．S△BEFS四边形APEF
发布：2025/5/22 16:0:1组卷：236引用：2难度：0.1 -
3．课本再现：
（1）如图所示的是北师大版九年级上册数学课本上的一道题：
如图1，连接PO，利用△PAO与△PDO的面积之和是矩形面积的，可求出PE+PF的值，请你写出求解过程．14
知识应用：
（2）如图，在矩形ABCD中，点M，N分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C'处．
①如图2，P为线段MN上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线BM，BC的垂线，垂足分别为E和F，以PE，PF为邻边作平行四边形PEGF，若DM=13，CN=5，求平行四边形PEGF的周长．
②如图3，当点P在线段MN的延长线上运动时，若DM=m,CN=n.请用含m,n的式子直接写出GF与GE之间的数量关系．发布：2025/5/22 15:30:1组卷：217引用：3难度：0.2
