如图1，平面内有一点P到△ABC的三个顶点的距离分别为PA、PB、PC，若有PA2=PB2+PC2，则称点P为△ABC关于点A的勾股点．
（1）如图2，在5×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B、C、D、E均在小正方形的格点上，则点D是△ABC关于点 CC的勾股点；若点F在格点上，且点E是△ABF关于点F的勾股点，请在方格纸中画出△ABF；
（2）如图3，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，点E是平面内一点，且点O是△ABE关于点E的勾股点．
①求证：OE=AB；
②若OA=12，OB=1，则AE的最大值为 12+5212+52（直接写出结果）；
③若OA=12，OB=1，且△ABE是以AE为底的等腰三角形，求AE的长．
（3）如图4，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E是矩形ABCD内一点，且点C是△ABE关于点A的勾股点，那么AE+34BE的最小值为 19341934（直接写出结果）．
OA
=
1
2
1
2
5
2
1
2
5
2
OA
=
1
2
AE
+
3
4
BE
193
4
193
4
【考点】四边形综合题．
【答案】C；+；
1
2
5
2
193
4
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：352引用：1难度：0.2
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1．[证明体验]
（1）如图1，在△ABC中，点D在边BC上，点F在边AC上，AB=AD，FB=FC，AD与BF相交于点E．求证：∠ABF=∠CAD．
[思考探究]
（2）如图2，在（1）的条件下，过点D作AB的平行线交AC于点G，若DE=2AE，AB=6，求DG的长．
[拓展延伸]
（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，∠ABC=∠ACB=67.5°，OD=2OB，OA=，求CD的长．2
发布：2025/5/23 23:30:1组卷：687引用：3难度：0.3 -
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3．【问题提出】
（1）如图①，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，若S△OPC=3，则S△OPD=
【问题探究】
（2）如图②，a、b是两条平行的直线，且a、b之间的距离为12，点A为直线a上一点，点B、C为直线b上两点，且点B在点C的左侧，若∠BAC=45°，求BC的最小值；
【问题解决】
（3）如图③，四边形ABCD是园林规划局欲修建的一块平行四边形园林的大致示意图，沿对角线BD修一条人行走道，沿∠BAD的平分线AP（点P在BD上）修一条园林灌溉水渠．根据规划要求，∠ABC=120°，AP=120米，且使得平行四边形ABCD的面积尽可能小，问平行四边形ABCD的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值，若不存在，请说明理由．
发布：2025/5/23 22:30:2组卷：137引用：1难度：0.2
