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已知椭圆E：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的焦距为2c,左右焦点分别为F₁、F₂，圆F₁：（x+c）²+y²=1与圆F₂：（x-c）²+y²=9相交，且交点在椭圆E上，直线l：y=x+m与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为-
1
4
．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若m=1，试问E上是否存在P、Q两点关于l对称，若存在，求出直线PQ的方程，若不存在，请说明理由．

【考点】椭圆的对称性．

【答案】（1）

；（2）存在P、Q两点关于l对称，直线PQ的方程为

．

【解答】

【点评】

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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：125引用：3难度：0.5

相似题

1．已知椭圆Γ
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的左焦点为F，左、右顶点分别为A、B，上顶点为P．
（1）若△PFB为直角三角形，求Γ的离心率；
（2）若a=2，b=1，点Q、Q'是椭圆Γ上不同两点，试判断“|PQ|=|PQ'|”是“Q、Q'关于y轴对称”的什么条件？并说明理由；
（3）若
a
=
2
，
b
=
3
，点T为直线x=4上的动点，直线TA，TB分别交椭圆Γ于C，D两点，试问△FCD的周长是否为定值？请说明理由．
发布：2024/6/27 10:35:59组卷：113引用：3难度：0.6
解析
2．卡西尼卵形线是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．在数学史上，同一平面内到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知卡西尼卵形线是中心对称图形且有唯一的对称中心．若某卡西尼卵形线C两焦点间的距离为2，且C上的点到两焦点的距离之积为1，则C上的点到其对称中心距离的最大值为（　　）
A．1 B．
2
C．
3
D．2
发布：2024/5/27 14:0:0组卷：97引用：2难度：0.6
解析
3．将曲线
C
1
：
x
2
16
+
y
2
9
=
1
（
x
≤
0
）
和曲线
C
2
：
x
2
4
+
y
2
9
=
1
（
x
＞
0
）
合成曲线E．斜率为k的直线l与E交于A，B两点，P为线段AB的中点，则下列判断错误的是（　　）
A．曲线E所围成图形的面积小于36
B．曲线E与其对称轴仅有两个交点
C．存在k,使得点P的轨迹总在某个椭圆上
D．存在k,使得点P的轨迹总在某条直线上
发布：2024/7/27 8:0:9组卷：94引用：2难度：0.3
解析

3．将曲线C1：x216+y29=1（x≤0）和曲线C2：x24+y29=1（x＞0）合成曲线E．斜率为k的直线l与E交于A，B两点，P为线段AB的中点，则下列判断错误的是（ ）

3．将曲线
C
1
：
x
2
16
+
y
2
9
=
1
（
x
≤
0
）
和曲线
C
2
：
x
2
4
+
y
2
9
=
1
（
x
＞
0
）
合成曲线E．斜率为k的直线l与E交于A，B两点，P为线段AB的中点，则下列判断错误的是（　　）