已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为22，O为坐标原点．
（1）求C的方程；
（2）过O作两条相互垂直的射线，与椭圆C分别交于M，N两点，求证：点O到直线MN的距离为定值，并求弦MN长度的最小值．
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
2
2
【考点】直线与圆锥曲线的综合．
【答案】（1）=1；
（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），
当直线MN的斜率不存在时，x1=x2，y1=-y2，
由=1，得|x1|=，
∴点O到直线MN的距离为，
当直线MN的斜率不存在时，设直线MN的方程为y=kx+m，
与椭圆联立消去y，得：
（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
∴，x1x2=，
∵OM⊥ON，∴x1x2+y1y2=0，
∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，
∴（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，
∴，
整理，得3m2=2k2+2，
∴点O到直线MN的距离d==，
故点O到直线MN的距离为定值．
∵OM⊥ON，∴OM2+ON2=MN2＞2OM•ON，
当且仅当OM=ON时取“=”，
由d•MN=OM•ON，得d•MN=OM•ON≤，
∴MN≥2d=，∴弦MN长度的最小值为．
x
2
2
+
y
2
（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），
当直线MN的斜率不存在时，x1=x2，y1=-y2，
由
x
1
2
2
+
y
1
2
6
3
∴点O到直线MN的距离为
6
3
当直线MN的斜率不存在时，设直线MN的方程为y=kx+m，
与椭圆联立消去y，得：
（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
∴
x
1
+
x
2
=
-
4
km
1
+
2
k
2
2
m
2
-
2
1
+
2
k
2
∵OM⊥ON，∴x1x2+y1y2=0，
∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，
∴（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，
∴
（
k
2
+
1
）
•
2
m
2
-
2
1
+
2
k
2
-
4
k
2
m
2
1
+
2
k
2
+
m
2
=
0
整理，得3m2=2k2+2，
∴点O到直线MN的距离d=
|
m
|
1
+
k
2
2
3
=
6
3
故点O到直线MN的距离为定值
6
3
∵OM⊥ON，∴OM2+ON2=MN2＞2OM•ON，
当且仅当OM=ON时取“=”，
由d•MN=OM•ON，得d•MN=OM•ON≤
M
N
2
2
∴MN≥2d=
2
6
3
2
6
3
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：39引用：1难度：0.5
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