欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质．例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数y=f（x），如果对于其定义域D中任意给定的实数x,都有-x∈D，并且f（x）•f（-x）=1，就称函数y=f（x）为倒函数．
（1）已知f（x）=2x，g（x）=1+x1-x，判断y=f（x）和y=g（x）是否为倒函数；
（2）若y=f（x）是R上的倒函数，当x≤0时，f（x）=12-x+x2，方程f（x）=2023是否有正整数解？并说明理由；
（3）若y=f（x）是R上的倒函数，其函数值恒大于0，且在R上是增函数．记F（x）=f（x）-1f（x），证明：x1+x2＞0是F（x1）+F（x2）＞0的充要条件．
f
（
x
）
=
2
x
，
g
（
x
）
=
1
+
x
1
-
x
f
（
x
）
=
1
2
-
x
+
x
2
F
（
x
）
=
f
（
x
）
-
1
f
（
x
）
【考点】函数与方程的综合运用．
【答案】（1）f（x）=2x是倒函数，g（x）=不是倒函数；
（2）f（x）=2023没有正整数解，理由见解答；
（3）证明见解答．
1
+
x
1
-
x
（2）f（x）=2023没有正整数解，理由见解答；
（3）证明见解答．
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：93引用：4难度：0.3
