如图，在平面直角坐标系中，A（0，7），B（0，4），嘉琪用手机设计了动画，光点P从点A出发，以每秒2个单位的速度向右匀速运动：光点Q同时从点B出发，在点P的正下方沿抛物线 L1：y=x2+bx+c运动，设运动时间为t,当 t=32时，P、Q第一次相遇．
（1）①P、Q第一次相遇时，点P的坐标为 （3，7）（3，7）；
②求抛物线L1的解析式，并写出顶点坐标．
（2）当P、Q相遇后，点P的运动保持不变，点Q沿与L1形状相同的抛物线L2（如图）运动，点Q仍在点P的正下方，再次相遇时同时停止运动．当t=3时，光点Q运动到抛物线L2的最低点，求点P、Q在运动的整个过程中，距离不超过2的时间；
（3）在（2）的条件下，P、Q运动结束后，嘉琪用手机截图L1、L2后，发现屏幕上有一个黑点K（位置固定），刚好落在平面直角坐标系（10，5）的位置，嘉琪通过手机触屏功能将L1与L2横向、纵向同时放大a倍，使点K落在L1或L2上（放大过程中不改变坐标原点的位置），直接写出符合条件的a的值．
3
2
【考点】二次函数综合题．
【答案】（3，7）
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/7 8:0:9组卷：422引用：4难度：0.1
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1．如图，已知直线y=kx-6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，-4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．发布：2025/6/25 8:30:1组卷：6971引用：21难度：0.1 -
2．给定一个函数，如果这个函数的图象上存在一个点，它的横、纵坐标相等，那么这个点叫做该函数的不变点．
（1）一次函数y=3x-2的不变点的坐标为．
（2）二次函数y=x2-3x+1的两个不变点分别为点P、Q（P在Q的左侧），将点Q绕点P顺时针旋转90°得到点R，求点R的坐标．
（3）已知二次函数y=ax2+bx-3的两个不变点的坐标为A（-1，-1）、B（3，3）．
①求a、b的值．
②如图，设抛物线y=ax2+bx-3与线段AB围成的封闭图形记作M．点C为一次函数y=-x+m的不变点，以线段AC为边向下作正方形ACDE．当D、E两点中只有一个点在封闭图形M的内部（不包含边界）时，求出m的取值范围．13发布：2025/6/25 7:30:2组卷：348引用：2难度：0.1 -
3．如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是直线x=-1．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．发布：2025/6/25 6:0:1组卷：1079引用：59难度：0.5
