综合与探究：如图，抛物线y=43x2+83x-4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点D是第三象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m,求四边形ABCD面积S的最大值及此时点D的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，点Q是平面内一点，试探究，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
y
=
4
3
x
2
+
8
3
x
-
4
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）A的坐标为（-3，0），B的坐标为（1，0），C的坐标为（0，-4）；
（2）当D坐标为（-，-5）时，四边形ABCD面积S的最大值为；
（3）存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，P的坐标为（-1，-）．
（2）当D坐标为（-
3
2
25
2
（3）存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，P的坐标为（-1，-
13
8
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：249引用：2难度：0.1
相似题
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1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C（0，3），DE所在的直线是该抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）连接AD，P是AD上的动点，P′是点P关于DE的对称点，连接PE，过点P′作P′F∥PE，交x轴于点F，设四边形PP′FE的面积为y,EF=x,求y与x之间的函数关系式．发布：2025/6/16 2:0:1组卷：231引用：2难度：0.3 -
2．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y=ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y=-2的距离总相等．
①证明上述结论并求出点F的坐标；
②过点F的直线l与抛物线y=ax2+bx+c交于M，N两点．
证明：当直线l绕点F旋转时，+1MF是定值，并求出该定值；1NF
（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P，Q的坐标．
发布：2025/6/16 5:0:1组卷：2172引用：5难度：0.4 -
3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+5经过A（-5，0），B（-4，-3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接BD，CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）判断△BCD的形状，并说明理由；
（3）若点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．发布：2025/6/16 5:30:3组卷：1379引用：2难度：0.1
