已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦距为26，且过点A（2，1）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若不经过点A的直线l：y=kx+m与C交于P，Q两点，且直线AP与直线AQ的斜率之和为0，证明：直线PQ的斜率为定值．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
6
【答案】（Ⅰ） 椭圆C的方程为=1；
（Ⅱ）证明：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1=kx1+m，y2=kx2+m，
由
，消去y得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-8=0，（*）．
则，，
因为kPA+kQA=0，即=-，
化简得x1y2+x2y1-（x1+x2）-2（y1+y2）+4=0．
即2kx1x2+（m-1-2k）（x1+x2）-4m+4=0．（**）
代入得--4m+4=0，
整理得（2k-1）（m+2k-1）=0，
所以k=或m=1-2k．
若m=1-2k，可得方程（*）的一个根为2，不合题意．
所以直线PQ的斜率为定值，该值为．
x
2
8
+
y
2
2
（Ⅱ）证明：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1=kx1+m，y2=kx2+m，
由
y = kx + m |
x 2 8 + y 2 2 = 1 |
则
x
1
+
x
2
=
-
8
km
4
k
2
+
1
x
1
x
2
=
4
m
2
-
8
4
k
2
+
1
因为kPA+kQA=0，即
y
1
-
1
x
1
-
2
y
2
-
1
x
2
-
1
化简得x1y2+x2y1-（x1+x2）-2（y1+y2）+4=0．
即2kx1x2+（m-1-2k）（x1+x2）-4m+4=0．（**）
代入得
2
k
（
4
m
2
-
8
）
4
k
2
+
1
8
km
（
m
-
1
-
2
k
）
4
k
2
+
1
整理得（2k-1）（m+2k-1）=0，
所以k=
1
2
若m=1-2k，可得方程（*）的一个根为2，不合题意．
所以直线PQ的斜率为定值，该值为
1
2
【解答】
【点评】
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