已知 A、B为椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）和双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1的公共顶点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B的动点，且满足
AP
+
BP
=
λ
（
AQ
+
BQ
）
（
λ
∈
R
，
|
λ
|
＞
1
）
，设直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k₁、k₂、k₃、k₄．
（1）求证：点P、Q、O三点共线；
（2）当a=2，b=
3
时，若点P、Q都在第一象限，且直线PQ的斜率为
1
2
，求△BPQ的面积S；
（3）若F₁、F₂分别为椭圆和双曲线的右焦点，且QF₁∥PF₂，求k₁²+k₂²+k₃²+k₄²的值．

【答案】（1）证明详情见解答．
（2）

．
（3）8．

【解答】

【点评】

声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。

发布：2024/6/27 10:35:59组卷：197引用：5难度：0.6

相似题

1．点P在以F₁，F₂为焦点的双曲线
E
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（a＞0，b＞0）上，已知PF₁⊥PF₂，|PF₁|=2|PF₂|，O为坐标原点．
（Ⅰ）求双曲线的离心率e；
（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于P₁，P₂两点，且
O
P
1
•
O
P
2
=
-
27
4
，
2
P
P
1
+
P
P
2
=
0
，求双曲线E的方程；
（Ⅲ）若过点Q（m,0）（m为非零常数）的直线l与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且
MQ
=
λ
QN
（λ为非零常数），问在x轴上是否存在定点G，使
F
1
F
2
⊥
（
GM
-
λ
GN
）
？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由．
发布：2024/12/29 10:0:1组卷：72引用：5难度：0.7
解析
2．已知两个定点坐标分别是F₁（-3，0），F₂（3，0），曲线C上一点任意一点到两定点的距离之差的绝对值等于2
5
．
（1）求曲线C的方程；
（2）过F₁（-3，0）引一条倾斜角为45°的直线与曲线C相交于A、B两点，求△ABF₂的面积．
发布：2024/12/29 10:30:1组卷：99引用：1难度：0.9
解析
3．若过点（0，-1）的直线l与抛物线y²=2x有且只有一个交点，则这样的直线有（　　）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
发布：2024/12/29 10:30:1组卷：26引用：5难度：0.7
解析

2．已知两个定点坐标分别是F1（-3，0），F2（3，0），曲线C上一点任意一点到两定点的距离之差的绝对值等于25．（1）求曲线C的方程；（2）过F1（-3，0）引一条倾斜角为45°的直线与曲线C相交于A、B两点，求△ABF2的面积．