南京玄武湖号称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊．在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉．夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台P在半圆形的中轴线OC上（图中OC与直径AB垂直，P与O，C不重合），通过栈道把PA，PB，PC，AB连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感．已知AB=200m,∠PAB=θ，栈道总长度为函数f（θ）．
（1）求f（θ）；
（2）若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台P的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值．
【考点】根据实际问题选择函数类型；利用导数研究函数的最值．
【答案】（1）f（θ）=100（+3）（0＜θ＜）；
（2）观景台位于离岸边半圆弧中点的距离为米时，建造费用最小，最小费用为 万元．
2
-
sinθ
cosθ
π
4
（2）观景台位于离岸边半圆弧中点的距离为
（
100
-
100
3
3
）
500
（
3
+
3
）
【解答】
【点评】
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发布：2024/10/23 10:0:2组卷：32引用：8难度：0.5
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