已知两圆C1：x2+y2-2x=0，C2：（x+1）2+y2=4的圆心分别为C1，C2，P为一个动点，且|PC1|+|PC2|=22．
（1）求动点P的轨迹M的方程；
（2）是否存在过点A（2，0）的直线l与轨迹M交于不同的两点C、D，使得|C1C|=|C1D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．
2
【考点】直线与圆锥曲线的综合；圆与圆的位置关系及其判定．
【答案】（1）；
（2）假设存在这样的直线l满足条件，
当直线l的斜率不存在时，易知点A（2，0）在椭圆M的外部，直线l与椭圆M无交点，所以直线l不存在．
当直线l斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为y=k（x-2），
由方程组
得（2k2+1）x2-8k2x+8k2-2=0①，
依题意Δ=（-8k2）2-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，即-2k2+1＞0，解得-＜k＜，
当-＜k＜时，设交点C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点为N（x0，y0），
方程①的解为，，则=，
∴y0=k（x0-2）=k（-2）=，
要使|C1C|=|C1D|，必须有C1N⊥l，即k=-1，
∴k=-1，化简得0=-1，显然不成立；
所以不存在直线l，使得|C1C|=|C1D|，
综上所述，不存在直线l，使得|C1C|=|C1D|；
x
2
2
+
y
2
=
1
（2）假设存在这样的直线l满足条件，
当直线l的斜率不存在时，易知点A（2，0）在椭圆M的外部，直线l与椭圆M无交点，所以直线l不存在．
当直线l斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为y=k（x-2），
由方程组
x 2 2 + y 2 = 1 |
y = k （ x - 2 ） |
依题意Δ=（-8k2）2-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，即-2k2+1＞0，解得-
2
2
2
2
当-
2
2
2
2
方程①的解为
x
1
=
8
k
2
+
△
4
k
2
+
2
x
2
=
8
k
2
-
△
4
k
2
+
2
x
0
=
x
1
+
x
2
2
4
k
2
2
k
2
+
1
∴y0=k（x0-2）=k（
4
k
2
2
k
2
+
1
-
2
k
2
k
2
+
1
要使|C1C|=|C1D|，必须有C1N⊥l，即k
•
k
C
1
N
∴k
•
-
2
k
2
k
2
+
1
-
0
4
k
2
2
k
2
+
1
-
1
所以不存在直线l，使得|C1C|=|C1D|，
综上所述，不存在直线l，使得|C1C|=|C1D|；
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：57引用：7难度：0.1
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