如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2-2ax-3a与x轴交于点A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OC=OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，若点P为第一象限的抛物线上一点，直线CP交x轴于点D，且CP平分∠OCB，求点P的坐标；
（3）如图②，点Q为第四象限的抛物线上一点，直线BQ交y轴于点M，过点B作直线NB∥AQ，交y轴于点N，当Q点运动时，线段MN的长度是否会变化？若不变，请求出其长度；若变化，请求出其长度的变化范围．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=x2-2x-3；
（2）；
（3）线段MN的长度不会改变，线段MN的长度为12．
（2）
（
3
+
2
，
4
2
+
2
）
（3）线段MN的长度不会改变，线段MN的长度为12．
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/7 8:0:9组卷：613引用：3难度：0.5
相似题
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1．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”．例如（-3，-3）、（1，1）、（2023，2023）都是“不动点”．已知双曲线
．y=9x
（1）下列说法不正确的是 ．
A．直线y=x的图象上有无数个“不动点”
B．函数的图象上没有“不动点”y=-1x
C．直线y=x+1的图象上有无数个“不动点”
D．函数y=x2的图象上有两个“不动点”
（2）求双曲线上的“不动点”；y=9x
（3）若抛物线y=ax2-3x+c（a、c为常数）上有且只有一个“不动点”，
①当a＞1时，求c的取值范围．
②如果a=1，过双曲线图象上第一象限的“不动点”作平行于x轴的直线l,若抛物线上有四个点到l的距离为m,直接写出m的取值范围．y=9x发布：2025/5/24 13:30:2组卷：1194引用：10难度：0.3 -
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4（a≠0）与x轴交于点A（-1，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求△PAD面积的最大值．
（3）在（2）的条件下，将抛物线y=ax2+bx-4（a≠0）沿射线AD平移4个单位，得到新的抛物线y1，点E为点P的对应点，点F为y1的对称轴上任意一点，在y1上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．2
发布：2025/5/24 14:0:2组卷：3322引用：11难度：0.3 -
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+5经过点A（-1，0）、B（5，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）将（1）中的抛物线向下平移6个单位长度，再向左平移h（h＞0）个单位长度，得到新的抛物线．若新抛物线的顶点D'在△ABC内，求h的取值范围；
（3）点P为线段BC上一动点（点P不与B、C重合），过点P作x轴的垂线交（1）中的抛物线于点Q，当△PQC与△ABC相似时，求△PQC的面积．发布：2025/5/24 14:0:2组卷：115引用：1难度：0.1
