已知，椭圆C过点A（32，52），两个焦点为（0，2），（0，-2），E，F是椭圆C上的两个动点，直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：直线EF的斜率为定值．
3
2
，
5
2
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（1）+=1；
（2）证明：设E（x1，y1），F（x2，y2），设直线AE的方程为y=k（x-）+，代入+=1得（3k2+5）x2+3k（5-3k）x+3（-k+）2-30=0，
∴x1=-，
∴y1=kx1-k+，
又直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，再上式中以-k代k，可得
x2=-，
∴y2=kx2-k+，
∴直线EF的斜率k===1．
y
2
10
x
2
6
（2）证明：设E（x1，y1），F（x2，y2），设直线AE的方程为y=k（x-
3
2
5
2
y
2
10
x
2
6
3
2
3
2
∴x1=
3
k
（
3
k
-
5
）
3
k
2
+
5
3
2
∴y1=kx1-
3
2
5
2
又直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，再上式中以-k代k，可得
x2=
9
k
2
+
30
k
-
15
6
k
2
+
10
3
2
∴y2=kx2-
3
2
5
2
∴直线EF的斜率k=
y
2
-
y
1
x
2
-
x
1
-
k
（
x
1
+
x
2
）
+
3
k
x
2
-
x
1
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：98引用：4难度：0.5
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