如图1，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点C在第一象限，对角线AC交y轴于点D，线段BC交y轴于点E，抛物线y=16x2+56x经过点O，A，C，已知点C的横坐标为3，点P是直线AC上的一点（不与点A，C重合）．
（1）求点A，C，D的坐标和直线AC的函数表达式；
（2）当点P在线段AC上时，连接OP，BD，若△AOP与△BCD面积相等，求点P的坐标；
（3）过点P作x轴的平行线，交抛物线y=16x2+56x于M，N两点（点M在点N的左侧），如图2，直线AC上是否存在这样的点P，使以点E，C，P，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
y
=
1
6
x
2
+
5
6
x
y
=
1
6
x
2
+
5
6
x
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）A（-5，0），C（3，4），D（0，），直线AC的解析式为y=；
（2）P（-2，）；
（3）（-4+，）或（-4-，）．
5
2
1
2
x
+
5
2
（2）P（-2，
3
2
（3）（-4+
7
1
2
+
7
2
7
1
2
-
7
2
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：78引用：1难度：0.3
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-
1．如图，经过原点的抛物线y=-x2+2mx（m＞1）交x轴正半轴于点A，过点P（1，m）作直线PD⊥x轴于点D，交抛物线于点B，记点B关于抛物线对称轴的对称点为C，连接CB，CP．
（1）用含m的代数式表示BC的长．
（2）连接CA，当m为何值时，CA⊥CP？
（3）过点E（1，1）作EF⊥BD于点E，交CP延长线于点F．
①当m=时，判断点F是否落在抛物线上，并说明理由；54
②延长EF交AC于点G，在EG上取一点H，连接CH，若CH=CG，且△PFE与△CHG的面积相等，则m的值是．发布：2025/5/23 18:30:2组卷：403引用：3难度：0.1 -
2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x-5与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y=ax2+4ax+c经过点A、点B．
（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点的坐标；
（2）若在第三象限的抛物线上有一动点M，当点M到直线AB的距离最大时，求点M的坐标；
（3）点C，D分别为线段AO，线段AB上的点，且BD=AC，连接CD．将线段CD绕点D顺时针旋转90度，点C旋转后的对应点为点E，连接OE．当线段OE的长最小时，请直接写出直线DE的函数表达式．2
发布：2025/5/23 18:30:2组卷：700引用：2难度：0.3 -
3．二次函数y=ax2-2x+c的图象与x轴交于A（2，0）、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，3），顶点为E．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，连接PC、PE、CE．当S△CPE=2S△CPO，求点P的坐标．
发布：2025/5/23 18:30:2组卷：244引用：1难度：0.7
