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已知函数
f
（
x
）
=
alnx
+
a
+
1
x
+
x
（
x
∈
R
）
．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若函数
g
（
x
）
=
1
e
x
+
1
x
，证明：当a=1时，f（x）＞g（x）．

【答案】（1）当a＜-2时，f（x）在（0，1）和（-a-1，+∞）为增函数，在（1，-a-1）为减函数；
a=-2时，f（x）在（0，+∞）为增函数；当-2＜a＜-1时，
f（x）在（0，-a-1）和（1，+∞）为增函数，在（-a-1，1）为减函数；
当a≥-1时，f（x）在（0，1）为减函数，在（1，+∞）为增函数．
（2）证明过程见解答．

【解答】

【点评】

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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：181引用：2难度：0.3

相似题

1．已知函数
f
（
x
）
=
ln
2
+
x
2
-
x
+
1
，若关于x的不等式
f
（
k
e
x
）
+
f
（
-
1
2
x
）
＞
2
对任意x∈（0，2）恒成立，则实数k的取值范围（　　）
A．（
1
2
e
，+∞） B．（
1
2
e
，
2
e
2
） C．（
1
2
e
，
2
e
2
] D．（
2
e
2
，1]
发布：2025/1/5 18:30:5组卷：299引用：2难度：0.4
解析
2．已知函数f（x）=ax³+x²+bx（a,b∈R）的图象在x=-1处的切线斜率为-1，且x=-2时，y=f（x）有极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．
发布：2024/12/29 12:30:1组卷：48引用：4难度：0.5
解析
3．已知函数f（x）=
e
x
-
a
x
2
1
+
x
．
（1）若a=0，讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）有三个极值点x₁，x₂，x₃．
①求a的取值范围；
②求证：x₁+x₂+x₃＞-2．
发布：2024/12/29 13:0:1组卷：198引用：2难度：0.1
解析

已知函数f（x）=alnx+a+1x+x（x∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若函数g（x）=1ex+1x，证明：当a=1时，f（x）＞g（x）．

1．已知函数f（x）=ln2+x2-x+1，若关于x的不等式f（kex）+f（-12x）＞2对任意x∈（0，2）恒成立，则实数k的取值范围（ ）

2．已知函数f（x）=ax3+x2+bx（a,b∈R）的图象在x=-1处的切线斜率为-1，且x=-2时，y=f（x）有极值．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．

3．已知函数f（x）=ex-ax21+x．（1）若a=0，讨论f（x）的单调性．（2）若f（x）有三个极值点x1，x2，x3．①求a的取值范围；②求证：x1+x2+x3＞-2．

已知函数
f
（
x
）
=
alnx
+
a
+
1
x
+
x
（
x
∈
R
）
．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若函数
g
（
x
）
=
1
e
x
+
1
x
，证明：当a=1时，f（x）＞g（x）．

1．已知函数
f
（
x
）
=
ln
2
+
x
2
-
x
+
1
，若关于x的不等式
f
（
k
e
x
）
+
f
（
-
1
2
x
）
＞
2
对任意x∈（0，2）恒成立，则实数k的取值范围（　　）

2．已知函数f（x）=ax³+x²+bx（a,b∈R）的图象在x=-1处的切线斜率为-1，且x=-2时，y=f（x）有极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．

3．已知函数f（x）=
e
x
-
a
x
2
1
+
x
．
（1）若a=0，讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）有三个极值点x₁，x₂，x₃．
①求a的取值范围；
②求证：x₁+x₂+x₃＞-2．