已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；
（Ⅲ）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）1；
（Ⅲ）直线BM与直线DE平行．
证明如下：
当直线AB的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知kBM=1．
又因为直线DE的斜率kDE==1，所以BM∥DE．
当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k（x-1）（k≠1）．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AE的方程为y-1=（x-2）．
令x=3，得点．
由
，得（1+3k2）x2-6k2x+3k2-3=0．
所以x1+x2=，x1x2=．直线BM的斜率为：kBM=，
因为kBM-1====0
所以kBM=1=kDE，
∴BM∥DE．
综上，直线BM与直线DE平行．
6
3
（Ⅱ）1；
（Ⅲ）直线BM与直线DE平行．
证明如下：
当直线AB的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知kBM=1．
又因为直线DE的斜率kDE=
1
-
0
2
-
1
当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k（x-1）（k≠1）．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AE的方程为y-1=
y
1
-
1
x
1
-
2
令x=3，得点
M
（
3
，
y
1
+
x
1
-
3
x
1
-
2
）
由
x 2 + 3 y 2 = 3 |
y = k （ x - 1 ） |
所以x1+x2=
6
k
2
1
+
3
k
2
3
k
2
-
3
1
+
3
k
2
y
1
+
x
1
-
3
x
1
-
2
-
y
2
3
-
x
2
因为kBM-1=
k
（
x
1
-
1
）
+
x
1
-
3
-
k
（
x
1
-
1
）
（
x
1
-
2
）
-
（
3
-
x
2
）
（
x
1
-
2
）
（
3
-
x
2
）
（
x
1
-
2
）
（
k
-
1
）
[
-
x
1
x
2
+
2
（
x
1
+
x
2
）
-
3
]
（
3
-
x
2
）
（
x
1
-
2
）
（
k
-
1
）
[
-
3
k
2
+
3
1
+
3
k
2
+
12
k
2
1
+
3
k
2
-
3
]
（
3
-
x
2
）
（
x
1
-
2
）
所以kBM=1=kDE，
∴BM∥DE．
综上，直线BM与直线DE平行．
【解答】
【点评】
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