已知圆C过定点A（0，1），圆心C在抛物线x2=2y上，M、N为圆C与x轴的交点．
（1）当圆心C是抛物线的顶点时，求抛物线准线被该圆截得的弦长．
（2）当圆心C在抛物线上运动时，|MN|是否为一定值？请证明你的结论．
（3）当圆心C在抛物线上运动时，记|AM|=m,|AN|=n,求mn+nm的最大值，并求出此时圆C的方程．
m
n
+
n
m
【考点】圆与圆锥曲线的综合．
【答案】（1）；
（2）设圆心
，则圆C的半径，
圆C的方程是为：，
令y=0，得x2-2ax+a2-1=0，得x1=a-1，x2=a+1，∴|MN|=|x2-x1|=2是定值．
（3），．
2
1
-
（
1
2
）
2
=
2
×
3
2
=
3
（2）设圆心
C
a ， 1 2 a 2 |
r
=
a
2
+
（
1
2
a
2
-
1
）
2
圆C的方程是为：
（
x
-
a
）
2
+
（
y
-
1
2
a
2
）
2
=
a
2
+
（
1
2
a
2
-
1
）
2
令y=0，得x2-2ax+a2-1=0，得x1=a-1，x2=a+1，∴|MN|=|x2-x1|=2是定值．
（3）
2
2
（
x
±
2
）
2
+
（
y
-
1
）
2
=
2
【解答】
【点评】
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