问题提出
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4．若点P是边AC上一点，则BP的最小值为 125125；
问题探究
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，点E是BC的中点．若点P是边AC上一点，试求PB+PE的最小值；
问题解决
（3）某市一湿地公园内有一条四边形ABCD型环湖路，如图③所示．已知AD=2000米，CD=1000米，∠A=60°，∠B=90°，∠C=150°．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要修一条由CE，EF，FC连接而成的步行景观道，其中，点E，F分别在边AB，AD上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即CE+EF+FC的值最小，求此时BE，DF的长．（路面宽度忽略不计）
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【考点】四边形综合题．
【答案】
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【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：1797引用：6难度：0.1
相似题
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1．问题情境
如图，在四边形ABCD中，连接BD，∠ABD=∠BCD=90°，∠ADB=30°，∠BDC=45°，AB=2，点E为AD的中点，连接CE．以点D为中心，顺时针旋转△DEC，得到△DGF，点E，C的对应点分别为点G，F．
问题探究
（1）如图①，则CE的长为 ；
（2）如图②，在△DFG旋转过程中，当B，F，G三点共线时，求△ABF的面积；
（3）如图③，在△DFG旋转过程中，连接AF，AG，直接写出△AFG面积的最大值．
发布：2025/5/22 18:30:2组卷：315引用：1难度：0.1 -
2．在数学兴趣社团课上，同学们对平行四边形进行了深入探究．
探究一：如图1，在矩形ABCD中，AC2=AB2+BC2，BD2=AC2=CD2+AD2，则AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2，由此得出结论：矩形两条对角线的平方和等于其四边的平方和．
探究二：对于一般的平行四边形，是否仍有上面的结论呢？
证明：如图2，在▱ABCD中，过A作AM⊥BC于M，过D作DN⊥BC，交BC延长线于N．设AB=a,BC=b,BM=x,AM=y,
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠ABC=∠DCN，
又∵∠AMB=∠DNC=90°，∴△ABM≌△DCN．
∴CN=BM=x,DN=AM=y.
请你接着完成上面的证明过程．
结论应用：若一平行四边形的周长为20，两条对角线长分别为8，2，求该平行四边形的四条边长．10
发布：2025/5/22 18:30:2组卷：223引用：1难度：0.5 -
3．我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：
（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=BC；
②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为 ．
猜想论证：
（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．
拓展应用
（3）如图4，在四边形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=2，DA=6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．3
发布：2025/5/22 18:30:2组卷：3823引用：11难度：0.1
