已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
【考点】直线与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．
【答案】（1）；
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）
联立
，消去y可得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2-3）=0，
则
又
因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），∴kADkBD=-1，即
∴y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0，∴
∴7m2+16mk+4k2=0
解得：，且均满足3+4k2-m2＞0
当m1=-2k时，l的方程y=k（x-2），直线过点（2，0），与已知矛盾；
当时，l的方程为，直线过定点
所以，直线l过定点，定点坐标为．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）
联立
y = kx + m |
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
则
Δ = 64 m 2 k 2 - 16 （ 3 + 4 k 2 ） （ m 2 - 3 ） = 3 + 4 k 2 - m 2 ＞ 0 |
x 1 + x 2 = - 8 mk 3 + 4 k 2 |
x 1 x 2 = 4 （ m 2 - 3 ） 3 + 4 k 2 |
又
y
1
y
2
=
（
k
x
1
+
m
）
（
k
x
2
+
m
）
=
k
2
x
1
x
2
+
mk
（
x
1
+
x
2
）
+
m
2
=
3
（
m
2
-
4
k
2
）
3
+
4
k
2
因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），∴kADkBD=-1，即
y
1
x
1
-
2
•
y
2
x
2
-
2
=
-
1
∴y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0，∴
3
（
m
2
-
4
k
2
）
3
+
4
k
2
+
4
（
m
2
-
3
）
3
+
k
2
+
16
mk
3
+
4
k
2
+
4
=
0
∴7m2+16mk+4k2=0
解得：
m
1
=
-
2
k
，
m
2
=
-
2
k
7
当m1=-2k时，l的方程y=k（x-2），直线过点（2，0），与已知矛盾；
当
m
2
=
-
2
k
7
y
=
k
（
x
-
2
7
）
（
2
7
，
0
）
所以，直线l过定点，定点坐标为
（
2
7
，
0
）
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：1055引用：45难度：0.3
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