已知圆O的方程为x2+y2=1，直线l1过点A（3，0），且与圆O相切．
（1）求直线l1的方程；
（2）设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．
【考点】直线和圆的方程的应用．
【答案】（1）或；
（2）圆C经过定点坐标．
证明：对于圆O的方程x2+y2=1，令x=±1，即P（-1，0），Q（1，0）．
又直线l2方程为x=3，设M（s，t），则直线PM方程为．
解方程组
，得，
同理可得：．
所以圆C的圆心C的坐标为，半径长为，
又点M（s，t）在圆上，又s2+t2=1．故圆心C为，半径长．
所以圆C的方程为，
即=0
即，
又s2+t2=1
故圆C的方程为，
令y=0，则（x-3）2=8，
所以圆C经过定点，y=0，则x=，
所以圆C经过定点且定点坐标为．
2
x
-
4
y
-
3
2
=
0
2
x
+
4
y
-
3
2
=
0
（2）圆C经过定点坐标
（
3
±
2
2
，
0
）
证明：对于圆O的方程x2+y2=1，令x=±1，即P（-1，0），Q（1，0）．
又直线l2方程为x=3，设M（s，t），则直线PM方程为
y
=
t
s
+
1
（
x
+
1
）
解方程组
x = 3 |
y = t s + 1 （ x + 1 ） |
P
/
（
3
，
4
t
s
+
1
）
同理可得：
Q
/
（
3
，
2
t
s
-
1
）
所以圆C的圆心C的坐标为
（
3
，
3
st
-
t
s
2
-
1
）
|
st
-
3
t
s
2
-
1
|
又点M（s，t）在圆上，又s2+t2=1．故圆心C为
（
3
，
1
-
3
s
t
）
|
3
-
s
t
|
所以圆C的方程为
（
x
-
3
）
2
+
（
y
-
1
-
3
s
t
）
2
=
（
3
-
s
t
）
2
即
（
x
-
3
）
2
+
y
2
-
2
（
1
-
3
s
）
y
t
+
（
1
-
3
s
）
2
t
2
-
（
3
-
s
）
2
t
2
即
（
x
-
3
）
2
+
y
2
-
2
（
1
-
3
s
）
y
t
+
8
（
s
2
-
1
）
t
2
=
0
又s2+t2=1
故圆C的方程为
（
x
-
3
）
2
+
y
2
-
2
（
1
-
3
s
）
y
t
-
8
=
0
令y=0，则（x-3）2=8，
所以圆C经过定点，y=0，则x=
3
±
2
2
所以圆C经过定点且定点坐标为
（
3
±
2
2
，
0
）
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/4/20 14:35:0组卷：289引用：20难度：0.3
相似题
-
1．已知圆C1：（x-4）2+（y-2）2=20与y轴交于O，A两点，圆C2过O，A两点，且直线C2O与圆C1相切；
（1）求圆C2的方程；
（2）若圆C2上一动点M，直线MO与圆C1的另一交点为N，在平面内是否存在定点P使得PM=PN始终成立，若存在求出定点坐标，若不存在，说明理由．发布：2024/10/16 15:0:1组卷：547引用：7难度：0.3 -
2．已知直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=16．
①过点P（4，2）作圆O的切线m,求m的方程；
②直线l：y=kx+b与圆O交于点M，N两点，已知T（8，0），若x轴平分∠MTN，证明：不论k取何值，直线l与x轴的交点为定点，并求出此定点坐标．发布：2024/9/25 3:0:1组卷：148引用：2难度：0.6 -
3．若直线ax+y=0始终平分圆x2+y2-2ax+2ay+2a2+a-1=0的周长，则a的值为（ ）
发布：2024/12/8 10:30:3组卷：358引用：2难度：0.8
