人教五四版九年级（上）中考题单元试卷：第31章 二次函数（21）

一、选择题（共1小题）

• 1．如图，已知抛物线y₁=-x²+1，直线y₂=-x+1，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y₁，y₂．若y₁≠y₂，取y₁，y₂中的较小值记为M；若y₁=y₂，记M=y₁=y₂．例如：当x=2时，y₁=-3，y₂=-1，y₁＜y₂，此时M=-3．下列判断中：
  ①当x＜0时，M=y₁；
  ②当x＞0时，M随x的增大而增大；
  ③使得M大于1的x值不存在；
  ④使得M=

  1

  2

  的值是-

  2

  2

  或

  1

  2

  ，
  其中正确的个数有（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  组卷：2528引用：53难度：0.3

  解析

二、填空题（共1小题）

• 2．如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y₁=x²（x≥0）与y₂=

  x

  2

  3

  （x≥0）的图象于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y₁的图象于点D，直线DE∥AC，交y₂的图象于点E，则

  DE

  AB

  =

  ．
  组卷：6076引用：85难度：0.5

  解析

三、解答题（共28小题）

• 3．如图（1），在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0），B（3，0），与y轴交于C（0，3），顶点为D（1，4），对称轴为DE．
  （1）抛物线的解析式是

   

  ；
  （2）如图（2），点P是AD上一个动点，P′是P关于DE的对称点，连接PE，过P′作P′F∥PE交x轴于F．设S_{四边形EPP′F}=y,EF=x,求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；
  （3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使△BCQ成为以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出Q的坐标；若不存在．请说明理由．
  
  组卷：1159引用：52难度：0.5

  解析

• 4．如图所示，抛物线y=ax²+bx+c的顶点为M（-2，-4），与x轴交于A、B两点，且A（-6，0），与y轴交于点C．
  （1）求抛物线的函数解析式；
  （2）求△ABC的面积；
  （3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使△APC的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
  组卷：37引用：69难度：0.5

  解析

• 5．如图，2×2网格（每个小正方形的边长为1）中，有A，O，B，C，D，E，F，H，G九个格点．抛物线l的解析式为y=

  1

  2

  x²+bx+c.
  （1）若l经过点O（0，0）和B（1，0），则b=

  ，c=

  ；它还经过的另一格点的坐标为

  ．
  （2）若l经过点H（-1，1）和G（0，1），求它的解析式及顶点坐标；通过计算说明点D（1，2）是否在l上．
  （3）若l经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足这样的抛物线的条数．
  组卷：339引用：52难度：0.5

  解析

• 6．如图，抛物线y=ax²+bx+2与直线l交于点A、B两点，且A点为抛物线与y轴的交点，B（-2，-4），抛物线的对称轴是直线x=2，过点A作AC⊥AB，交抛物线于点C、x轴于点D．
  （1）求此抛物线的解析式；
  （2）求点D的坐标；
  （3）抛物线上是否存在点K，使得以AC为边的平行四边形ACKL的面积等于△ABC的面积？若存在，请直接写出点K的横坐标；若不存在，请说明理由．[提示：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-

  b

  2

  a

  ，顶点坐标为（-

  b

  2

  a

  ，

  4

  ac

  -

  b

  2

  4

  a

  ）]．
  组卷：633引用：50难度：0.5

  解析

• 7．如图，在△ABC中，AB=AC，且点A的坐标为（-3，0），点C坐标为（0，

  3

  ），点B在y轴的负半轴上，抛物线y=-

  3

  3

  x²+bx+c经过点A和点C
  （1）求b,c的值；
  （2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△ACQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由
  （3）点P是线段AO上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交AB于点E，探究：当点P在什么位置时，四边形MEBC是平行四边形，此时，请判断四边形AECM的形状，并说明理由．
  组卷：562引用：52难度：0.1

  解析

• 8．如图，已知直线y=-x与二次函数y=-x²+bx+c的图象交于点A、O，O是坐标原点，OA=3

  2

  ，点P为二次函数图象的顶点，点B是AP的中点．
  （1）求点A的坐标和二次函数的解析式；
  （2）求线段OB的长；
  （3）射线OB上是否存在点M，使得△AOM与△AOP相似？若存在，请求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：452引用：50难度：0.5

  解析

• 9．如图，平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+4经过点D（2，4），且与x轴交于A（3，0），B（-1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，CD，BC
  （1）直接写出该抛物线的解析式
  （2）点P是所求抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线l,l分别交x轴于点E，交直线AC于点M．设点P的横坐标为m.
  ①当0≤m≤2时，过点M作MG∥BC，MG交x轴于点G，连接GC，则m为何值时，△GMC的面积取得最大值，并求出这个最大值
  ②当-1≤m≤2时，试探求：是否存在实数m,使得以P，C，M为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出相应的m值；若不存在，请说明理由．
  组卷：524引用：50难度：0.5

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• 10．抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0）两点，过点A的直线交抛物线于点C（2，m），交y轴于点D．
  （1）求抛物线及直线AC的解析式；
  （2）点P是线段AC上的一动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；
  （3）点M（m,-3）是抛物线上一点，问在直线AC上是否存在点F，使△CMF是等腰直角三角形？如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
  组卷：572引用：51难度：0.5

  解析

三、解答题（共28小题）

• 29．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQ⊥x轴，垂足为点Q，△PCQ为等边三角形
  
  （1）求该抛物线的解析式；
  （2）求点P的坐标；
  （3）求证：CE=EF；
  （4）连接PE，在x轴上点Q的右侧是否存在一点M，使△CQM与△CPE全等？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．[注：3+2

  2

  =（

  2

  +1）²]．
  组卷：1868引用：51难度：0.1

  解析

• 30．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax²+bx+6（a≠0）相交于A（

  1

  2

  ，

  5

  2

  ）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
  （3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．
  组卷：30521引用：99难度：0.1

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