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2023年湖北省武汉市华中师大一附中高考数学第二次质检试卷

发布：2024/4/20 14:35:0

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数z是方程x²-2x+2=0的根，则|z|为（　　）
A．2 B．
2
C．0 D．1
组卷：171引用：1难度：0.7
解析
2．设集合M={x∈Z|lgx＜1}，N={x∈Z|2^x＞100}，则M∩N=（　　）
A．{5，6，7} B．{6，7，8} C．{7，8，9} D．{8，9，10}
组卷：124引用：4难度：0.7
解析
3．函数
f
（
x
）
=
1
（
x
-
1
）
ln
|
x
|
的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
组卷：163引用：4难度：0.7
解析
4．已知点P在棱长为4的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则
PA
•
PB
的最小值为（　　）
A．-8 B．-4 C．-1 D．0
组卷：227引用：3难度：0.5
解析
5．设函数f（x）=xsinx,x₁，
x
2
∈
[
-
π
2
，
π
2
]
，若f（x₁）＞f（x₂），则下列结论一定成立的是（　　）
A．x₁＞x₂ B．x₁＜x₂ C．x₁+x₂＞0 D．
x
2
1
＞
x
2
2
组卷：100引用：1难度：0.7
解析
6．古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的左、右焦点分别为F₁，F₂，若从椭圆右焦点F₂发出的光线经过椭圆上的点A和点B反射后，满足AB⊥AD，且cos∠ABC=
3
5
，则该椭圆的离心率为（　　）
A．
1
2
B．
2
2
C．
3
2
D．
5
3
组卷：722引用：13难度：0.6
解析
7．在正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2A₁B₁，AA₁=2
3
，M为棱B₁C₁的中点，当正四棱台的体积最大时，平面MBD截该正四棱台的截面面积是（　　）
A．
5
3
4
B．
15
3
2
C．
10
3
D．
6
2
组卷：207引用：3难度：0.4
解析

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

21．已知：若点（x₀，y₀）是双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
上一点，则双曲线在点（x₀，y₀）处的切线方程为
x
0
x
a
2
-
y
0
y
b
2
=
1
．如图，过点
C
（
m
,
1
）
（
-
3
＜
m
＜
3
）
分别作双曲线
x
2
3
-
y
2
=
1
两支的切线，切点分别为P，Q，连结P，Q两点，并过线段PQ的中点F分别再作双曲线两支的切线，切点分别为D，E，记△DCF与△ECF的面积分别为S₁，S₂．
（1）求直线PQ的方程（含m）；
（2）证明直线DE过点C，并比较S₁与S₂的大小．
组卷：135引用：3难度：0.6
解析
22．若函数f（x），g（x）的图象与直线x=m分别交于A，B两点，与直线x=n分别交于C，D两点（m＜n），且直线AC，BD的斜率互为相反数，则称f（x），g（x）为“（m,n）相关函数”．
（1）f（x），g（x）均为定义域上的单调递增函数，证明：不存在实数m,n,使得f（x），g（x）为“（m,n）相关函数”；
（2）f（x）=e^ax，g（x）=ax²，若存在实数mn＞0，使得f（x），g（x）为“（m,n）相关函数”，且|AB|=|CD|，求实数a的取值范围．
组卷：161引用：6难度：0.2
解析