2022-2023学年广东省五校华附、省实、深中、广雅、六中高二（上）期末数学试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

• 1．集合A={x|2sinx=1，x∈R}，B={x|x²-3x≤0}，则A∩B=（　　）

  A．[0，3]

  B． { π 6 }

  C． [ π 6 ， 5 π 6 ]

  D． { π 6 ， 5 π 6 }
  组卷：116引用：4难度：0.8

  解析

• 2．某地天气预报中说未来三天中该地下雪的概率均为0.6，为了用随机模拟的方法估计未来三天中恰有两天下雪的概率，用计算机产生1～5之间的随机整数，当出现随机数1，2或3时，表示该天下雪，其概率为0.6，每3个随机数一组，表示一次模拟的结果，共产生了如下的20组随机数．
  

  522	553	135	354	313	531	423	521	541	142
  125	323	345	131	332	515	324	132	255	325

  则据此估计该地未来三天中恰有两天下雪的概率为（　　）

  A． 2 5

  B． 9 20

  C． 1 2

  D． 7 10
  组卷：128引用：3难度：0.8

  解析

• 3．设复数z满足

  |

  z

  -

  1

  |

  =

  |

  z

  -

  z

  |

  ，则z在复平面上对应的图形是（　　）

  A．两条直线

  B．椭圆

  C．圆

  D．双曲线
  组卷：92引用：1难度：0.8

  解析

• 4．在△ABC中，已知a=3，

  A

  =

  π

  3

  ，b=x,满足此条件的三角形只有一个，则x满足（　　）

  A． x = 2 3

  B．x∈（0，3）

  C． x ∈ { 2 3 } ∪ （ 0 ， 3 ）

  D． x ∈ { 2 3 } ∪ （ 0 ， 3 ]
  组卷：394引用：2难度：0.5

  解析

• 5．圆内接四边形ABCD中，AD=2，CD=4，BD是圆的直径，则

  AC

  •

  BD

  =（　　）

  A．12

  B．-12

  C．20

  D．-20
  组卷：317引用：3难度：0.6

  解析

• 6．已知数列{a_n}为等差数列，若a₂+3a₈＜0，a₆•a₇＜0，且数列{a_n}的前n项和有最大值，那么S_n取得最小正值时n为（　　）

  A．11

  B．12

  C．7

  D．6
  组卷：404引用：4难度：0.7

  解析

• 7．过椭圆

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的左焦点F（-1，0）的直线与椭圆交于A，B两点，与y轴交于点C，点C，F是线段AB的三等分点，则该椭圆的标准方程是（　　）

  A． x 2 6 + y 2 5 =1

  B． x 2 5 + y 2 4 =1

  C． x 2 3 + y 2 2 =1

  D． x 2 4 + y 2 3 =1
  组卷：123引用：2难度：0.6

  解析

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

• 21．已知四棱锥E-ABCD中，AB=4CD=4，AE=2，CD∥AB，AD=2

  2

  ，∠DAB=45°，面ABCD⊥面ABE，CE=

  17

  ．
  （1）求证：AE⊥CB；
  （2）求面ADE与面BDE所成的锐二面角的余弦值．
  组卷：103引用：1难度：0.6

  解析

• 22．换元法在数学中应用较为广泛，其目的在于把不容易解决的问题转化为数学情景．例如，已知a＞0，b＞0，a+b=4，求a³+b³的最小值．其求解过程可以是：
  设a=2-t,b=2+t,其中-2＜t＜2，
  则a³+b³=（2-t）³+（2+t）³=（8-12t+6t²-t³）+（8+12t+6t²+t³）=16+12t²≥16
  当t=0时a³+b³取得最小值16，这种换元方法称为“对称换元”．已知平面内一动点P到两个定点F₁（-1，0），F₂（1，0）的距离之和为4．
  （1）请利用上述方法，求P点的轨迹方程M；
  （2）过轨迹M与x轴负半轴交点A作斜率为k的直线交轨迹M于另一点B，连接BF₂并延长交M于点C，若F₁C⊥AB，求k的值．
  组卷：44引用：1难度：0.4

  解析