2022-2023学年湖南省长沙市同升湖实验学校高三（上）第三次月考数学试卷

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

• 1．命题“∃x₀≥0，

  2

  x

  0

  +

  3

  ＞

  1

  ”的否定是（　　）

  A．∃x0≥0， 2 x 0 + 3 ＜ 1	B．∀x＜0， 2 x + 3 ≤ 1
  C．∃x0≥0， 2 x 0 + 3 ≤ 1	D．∀x≥0， 2 x + 3 ≤ 1
  组卷：35引用：3难度：0.8

  解析

• 2．已知集合A={x|-4＜x＜3}，B={-3，1，2，3，4}则A∩B=（　　）

  A．{-3，1，2，3，4}

  B．{-3，1，2}

  C．{1，2，3}

  D．{1，2}
  组卷：23引用：2难度：0.8

  解析

• 3．已知

  |

  a

  |

  =

  1

  ，

  |

  b

  |

  =

  2

  ，

  a

  •

  b

  =

  -

  1

  2

  ，则

  cos

  〈

  a

  ，

  a

  -

  b

  〉

  =（　　）

  A． 6 4

  B． 6 12

  C． 3 4

  D． 1 4
  组卷：128引用：1难度：0.7

  解析

• 4．已知

  sin

  （

  α

  -

  π

  6

  ）

  =

  1

  3

  ，则

  cos

  （

  2

  α

  +

  2

  π

  3

  ）

  =（　　）

  A． 7 9

  B． - 7 9

  C． 4 2 9

  D． - 4 2 9
  组卷：406引用：3难度：0.7

  解析

• 5．已知向量

  a

  =

  （

  1

  ，

  cosx

  ）

  ，

  b

  =

  （

  2

  ，

  sinx

  ）

  ，若

  a

  ∥

  b

  ，则

  a

  •

  b

  =（　　）

  A． 8 5

  B． 10 5

  C． 12 5

  D． 14 5
  组卷：97引用：1难度：0.7

  解析

• 6．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足2xf（x）+x²f'（x）＜0，

  f

  （

  2

  ）

  =

  3

  4

  ，则关于x的不等式

  f

  （

  x

  ）

  ＞

  3

  x

  2

  的解集为（　　）

  A．（0，4）

  B．（2，+∞）

  C．（4，+∞）

  D．（0，2）
  组卷：500引用：4难度：0.6

  解析

• 7．函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  sin

  （

  πx

  ）

  +

  x

  x

  -

  1

  -

  1

  ，则直线y=2x-2与y=f（x）的图象的所有交点的横坐标之和为（　　）

  A．2

  B．1

  C．4

  D．0
  组卷：111引用：3难度：0.7

  解析

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

• 21．某新型智能家电在网上销售，由于安装和使用等原因，必须有售后服务人员上门安装和现场教学示范操作，所以每个销售地区需配备若干售后服务店．A地区通过几个月的网上销售，发现每月利润（万元）与该地区的售后服务店个数有相关性．如表中x表示该地区的售后服务店个数，y表示在有x个售后服务店情况下的月利润额．
  

  x（个）	2	3	4	5	6
  y（万元）	19	34	46	57	69

  （1）求y关于x的线性回归方程；
  （2）假设x个售后服务店每月需消耗资金t=3.8+0.5x²（单位：万元），请结合（1）中的线性回归方程，估算A地区开设多少个售后服务店时，才能使A地区每月所得利润平均到每个售后服务店最高．
  附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

  ̂

  b

  =

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  x

  i

  -

  x

  ）

  （

  y

  i

  -

  y

  ）

  n

  ∑

  i

  =

  1

  （

  x

  i

  -

  x

  ）

  2

  ，

  ̂

  a

  =

  y

  -

  ̂

  b

  x

  ．参考数据：

  5

  ∑

  i

  =

  1

  x

  i

  y

  i

  =

  1023

  ．
  组卷：112引用：2难度：0.5

  解析

• 22．已知函数f（x）=lnx.
  （1）证明：f（x+1）≤x；
  （2）若函数h（x）=2xf（x），若存在x₁＜x₂使h（x₁）=h（x₂），证明：

  x

  1

  •

  x

  2

  ＜

  1

  e

  2

  ．
  组卷：70引用：2难度：0.3

  解析