2009年初中数学竞赛选拔模拟试卷

一、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）

• 1．因式分解4x-x³=

  ．
  组卷：331引用：68难度：0.7

  解析

• 2．a、b为实数，且满足a＞b＞0，a²+b²=4ab,则

  a

  -

  b

  a

  +

  b

  的值等于

   

  ．
  组卷：94引用：2难度：0.9

  解析

• 3．观察下列各等式：

  1

  2

  ×

  3

  =

  1

  2

  -

  1

  3

  ，

  1

  3

  ×

  5

  =

  1

  2

  （

  1

  3

  -

  1

  5

  ）

  ，…根据你发现的规律，计算：

  1

  1

  ×

  4

  +

  1

  4

  ×

  7

  +

  1

  7

  ×

  10

  +

  …

  +

  1

  （

  3

  n

  -

  2

  ）

  （

  3

  n

  +

  1

  ）

  =

  （n为正整数）．
  组卷：672引用：6难度：0.5

  解析

• 4．已知在坐标轴上有两点A（3，6），和B（2，-2），试在y轴上找一点P，使PA+PB最短，则点P的坐标为

   

  ．
  组卷：74引用：2难度：0.9

  解析

• 5．观察分析下列数据，寻找规律：
  已知一列实数1、

  5

  、3、

  13

  …，则第n个数是

   

  ．
  组卷：185引用：2难度：0.9

  解析

• 6．已知等式：x²+5x+3=（x+a）（x+b），则

  a

  b

  +

  b

  a

  =

   

  ．
  组卷：42引用：2难度：0.7

  解析

• 7．如图，在Rt△ABC中，D为斜边AB上一点，AD=5，BD=4，四边形CEDF为正方形，则图中阴影部分的面积为

  ．
  组卷：59引用：2难度：0.5

  解析

• 8．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成中心对称且也以格点为顶点的三角形共有

   

  个；（不包括△ABC本身）
  组卷：419引用：9难度：0.7

  解析

三、解答题（共8小题，满分78分）

• 25．如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别相交x轴于点B、交y轴于点C，经过B、C两点的抛物线y=ax²+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．
  （1）求A点的坐标；
  （2）求该抛物线的函数表达式；
  （3）连接AC，请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：963引用：49难度：0.1

  解析

• 26．如图，已知等腰Rt△AOB，其中∠AOB=90°，OA=OB=2，E、F为斜边AB上的两个动点（E比F更靠近A），满足∠EOF=45°，
  （1）求证：△AOF∽△BEO；
  （2）求AF•BE的值；
  （3）作EM⊥OA于M，FN⊥OB于N，求OM•ON的值；
  （4）求线段EF长的最小值．（提示：必要时可以参考以下公式：当x＞0，y＞0时，

  x

  +

  y

  =

  （

  x

  -

  y

  ）

  2

  +

  2

  xy

  或

  x

  +

  1

  x

  =

  （

  x

  -

  1

  x

  ）

  2

  +

  2

  ）
  组卷：465引用：9难度：0.1

  解析