2013-2014学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）9月周练数学试卷（文科）（4）

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．集合A={x∈N|x≤6}，B={x∈R|x²-3x＞0}，则A∩B=（　　）

  A．{3，4，5}

  B．{4，5，6}

  C．{x|3＜x≤6}

  D．{x|3≤x＜6}
  组卷：247引用：45难度：0.9

  解析

• 2．复数z=

  1

  -

  2

  i

  1

  -

  i

  （

  i

  为虚数单位

  ）

  在复平面上对应的点位于（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  组卷：71引用：13难度：0.9

  解析

• 3．等差数列{a_n}中，a₂=3，a₃+a₄=9则a₁a₆的值为（　　）

  A．14

  B．18

  C．21

  D．27
  组卷：157引用：17难度：0.9

  解析

• 4．给出如下四个命题：
  ①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；
  ②命题“若a＞b,则2^a＞2^b-1”的否命题为“若a≤b,则2^a≤2^b-1”；
  ③“∀x∈R，x²+1≥1”的否定是“∃x∈R，x²+1≤1；
  ④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．
  其中不正确的命题的个数是（　　）

  A．4

  B．3

  C．2

  D．1
  组卷：65引用：35难度：0.9

  解析

• 5．设O为坐标原点，A（1，1），若点B（x,y）满足

  x 2 + y 2 ≥ 1

  0 ≤ x ≤ 1

  0 ≤ y ≤ 1

  ，则

  OA

  •

  OB

  取得最小值时，点B的个数是（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．无数个
  组卷：281引用：13难度：0.9

  解析

• 6．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，对角线AC、DB相交于点O，若

  AD

  =

  a

  ，

  AB

  =

  b

  ，则

  AO

  =（　　）

  A． 4 3 a - 2 3 b

  B． 1 3 a + 2 3 b

  C． 2 3 a - 1 3 b

  D． 2 3 a + 1 3 b
  组卷：154引用：6难度：0.9

  解析

• 7．函数f（x）=-（cosx）lg|x|的部分图象是（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  组卷：19引用：11难度：0.9

  解析

三、解答题：本题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

• 20．已知椭圆C的方程为：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  2

  =1（a＞0），其焦点在x轴上，离心率e=

  2

  2

  ．
  （1）求该椭圆的标准方程；
  （2）设动点P（x₀，y₀）满足

  OP

  =

  OM

  +2

  ON

  ，其中O为坐标原点，M，N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为-

  1

  2

  ，求证：

  x

  2

  0

  +2

  y

  2

  0

  为定值．
  （3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．
  组卷：75引用：8难度：0.3

  解析

• 21．已知函数f（x）=

  1

  2

  mx²-2x+1+ln（x+1）（m≥1）；
  （1）求y=f（x）在点P（0，1）处的切线方程；
  （2）设g（x）=f（x）+x-1仅有一个零点，求实数m的值；
  （3）试探究函数f（x）是否存在单调递减区间？若有，设其单调区间为[t,s]，试求s-t的取值范围？若没有，请说明理由．
  组卷：14引用：2难度：0.3

  解析