2021年安徽师大附中自主招生数学试卷
发布：2024/4/20 14:35:0
一.选择题（本大题共6小题：每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案写在答卷纸的指定位置上）：
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1．杨辉三角是二项式（a+b）n展开式中各项系数的一种几何排列．它最早出现在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中．利用杨辉三角，我们很容易知道（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3．设（3a-2b）3=ma3+na2b+pab2+qb3，则系数n=（ ）
组卷：174引用：1难度：0.6 -
2．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（ ）组卷：195引用：2难度：0.5 -
3．在数轴上点A、B对应的数分别是a、b,点A在表示-3和-2的两点之间（包括这两点）移动，点B在表示-1和0的两点（包括这两点）之间移动，则以下四个代数式的值，可能比2021大的是（ ）
组卷：183引用：2难度：0.8 -
4．三角形的四心是指三角形的重心、外心、内心、垂心．三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点（或三角形外接圆的圆心），三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点（或内切圆的圆心），三角形的垂心是三角形三边上的高所在直线的交点，三角形的重心是三角形三条中线的交点．三角形的四心具有丰富的数学知识与内在联系．当且仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一，称作正三角形的中心．如图，H是△ABC的垂心，AH、BH、CH分别交BC、AC、AB于D、E、F，则H是△DEF的（ ）组卷：307引用：1难度：0.4 -
5．在凸四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=120°，BC=CD=10，则A、C两点之间的距离是（ ）组卷：216引用：1难度：0.6 -
6．若在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A、B、C三点的坐标分别为（3，0），（5，0），（0，4），点D在第一象限内，且∠ADB=45°．则线段CD的长最小值是（ ）组卷：520引用：4难度：0.6
二.填空题（本大题共9小题：每小题5分，共45分.请把正确答案写在答卷纸的指定位置上）
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7．公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理（公设），在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》．它的问世是整个数学发展史上意义极其深远的大事，也是整个人类文明史上的里程碑．在这本书中，欧几里德提出“三角形的内角和是180°”这一定理，根据这一定理，我们可以得出“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”的结论．进一步思考：多边形的一个外角和与它不相邻的内角之间又有怎样的关系呢？假设一个n边形的某一个外角的度数是x°，与它不相邻的所有内角的和是y°，那么x与y的关系是 ．
组卷：57引用：1难度：0.6
三.解答题（本大题共7题，共75分，其中第16题7分、第17题8分、第18、19、20、21、22题每题12分，请把正确答案写在答卷纸的指定位置上）
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21．射影几何的奠基人之一，法国数学家庞斯莱（1788～1867）发明过一种玩具，如图，这种玩具用七根小棍做成，各个连接点均可活动．AF与AD等长，CD，DE，EF，FC等长，并且BC＜AD-DC，使用时，将A，B钉牢在平板上，并使A，B间的距离等于木棍BC的长，绕点B转动C点，则点C在一个圆上运动，E点就会在一条直线上运动．这样一边画圆一边画直线据此可设计出“狗熊走钢丝”等好玩的游戏．
问题探究：爱玩的小明看到这段材料，就想用数学家制作的这个玩具玩一把，可是身边没有这个玩具，怎么办呢？想了又想，最后他想用几何画板来模拟这个玩具，于是，他用几何画板构造了如图所示的“玩具”，在电脑上玩了起来，确实发现当点C在⊙B上运动时，点E在一条直线上动，而且与AG垂直，垂足为H，怎么来说明这个结论呢？小明百思不得其解时，聪明的考生请你帮帮小明．
问题解决：
（1）求证：A，C，E在一条直线上；
（2）求证：点E在一定直线上运动．组卷：74引用：1难度：0.2 -
22．已知p、q都是正实数，且p≠
q.3
（1）证明：必在3和pq之间；p+3qp+q
（2）请问：和pq这两个数，哪一个更接近于p+3qp+q，说明你的理由；3
（3）请你再写出一个式子，使得它的值比和pq的值更接近于p+3qp+q．3组卷：100引用：1难度：0.5
