2020-2021学年全国百强名校领军考试高三（上）月考数学试卷（理科）（9月份）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

• 1．已知集合M={x|x²＜4}，N={x|log₂x＜2}，则M∩N=（　　）

  A．{x|-2＜x＜3}

  B．{x|0＜x＜4}

  C．{x|-2＜x＜2}

  D．{x|0＜x＜2}
  组卷：43引用：2难度：0.8

  解析

• 2．已知α是锐角，若cos（α+

  π

  4

  ）=

  1

  4

  ，则cos2α=（　　）

  A． 7 8

  B． 15 8

  C．- 7 8

  D．- 15 8
  组卷：247引用：4难度：0.7

  解析

• 3．设a,b∈R，则“lna＞lnb”是“ln

  a

  b

  ＞0”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：282引用：7难度：0.8

  解析

• 4．已知函数f（x）=ln（

  x

  2

  +

  1

  -x）+sinx-2，则f（2020）+f（-2020）=（　　）

  A．2

  B．0

  C．-2

  D．-4
  组卷：112引用：1难度：0.8

  解析

• 5．函数f（x）=2sin（2x+φ）+2（φ＞0）的一个对称中心为（

  π

  4

  ，2），则φ的最小值为（　　）

  A． π 2

  B． π 3

  C． π 4

  D． π 6
  组卷：284引用：1难度：0.8

  解析

• 6．已知函数f（x）=e^x+

  m

  x

  2

  +

  3

  1

  -

  x

  （m∈R）的图象在（0，f（0））处的切线与直线x+ny-3=0相互垂直，则实数n的值为（　　）

  A．2

  B．4

  C．6

  D．8
  组卷：42引用：1难度：0.7

  解析

• 7．已知函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）关于直线x=

  π

  3

  对称，则为了得到函数g（x）=cos（2x+

  5

  π

  6

  ）的图象，只需将函数f（x）的图象（　　）

  A．向左平移 π 2 个单位	B．向右平移 π 2 个单位
  C．向左平移 π 4 个单位	D．向右平移 π 4 个单位
  组卷：272引用：2难度：0.7

  解析

三、解答题：本题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

• 21．已知函数f（x）=ax²+lnx+1（a∈R）．
  （1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求a的取值范围；
  （2）若函数f（x）在区间（

  1

  e

  ，e）上有且只有两个零点，求实数a的取值范围．
  组卷：79引用：1难度：0.2

  解析

• 22．已知函数f（x）=ax+blnx+1，且函数在点（1，f（1））处的切线为x轴．
  （1）当x＞0时，证明：

  1

  x

  +

  1

  ＜ln

  x

  +

  1

  x

  ＜

  1

  x

  ；
  （2）已知n∈N，n≥2，求证：

  1

  2

  +

  1

  3

  +…+

  1

  n

  ＜lnn＜1+

  1

  2

  +…+

  1

  n

  -

  1

  ．
  组卷：138引用：1难度：0.2

  解析