2022-2023学年江苏省南京市秦淮区中华中学高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）

• 1．已知向量

  a

  =

  （

  3

  ，

  4

  ）

  ，

  a

  -

  b

  =

  （

  1

  ，

  2

  ）

  ，则

  a

  •

  b

  =（　　）

  A．5

  B．14

  C．-6

  D． 2 2
  组卷：116引用：1难度：0.5

  解析

• 2．已知

  cosα

  =

  1

  3

  ，则sinαsin2α=（　　）

  A． 1 27

  B． 2 27

  C． 8 27

  D． 16 27
  组卷：110引用：1难度：0.8

  解析

• 3．为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若AC=40

  2

  米，BC=80

  3

  ，∠MCA=45°，∠NCB=30°，∠MCN=120°，则塔尖MN之间的距离为（　　）米．

  A．80

  B．120

  C． 80 5

  D． 80 7
  组卷：74引用：4难度：0.6

  解析

• 4．在△ABC中，

  cos

  A

  =

  4

  5

  ，

  tan

  （

  A

  -

  B

  ）

  =

  1

  3

  ，则tanB=（　　）

  A． 1 3

  B． 9 13

  C． 9 5

  D． 5 9
  组卷：103引用：3难度：0.8

  解析

• 5．在△ABC中，D为线段BC上一点，且AE=2ED，若

  ED

  =

  x

  AB

  +

  y

  AC

  ，则

  1

  x

  +

  9

  y

  的最小值为（　　）

  A． 16 3

  B．16

  C．48

  D．60
  组卷：225引用：1难度：0.6

  解析

• 6．已知

  0

  ＜

  β

  ＜

  α

  ＜

  π

  2

  ，且

  cos

  （

  α

  -

  β

  ）

  =

  12

  13

  ，

  cos

  2

  β

  =

  3

  5

  ，则sin（α+β）=（　　）

  A． 63 65

  B． 33 65

  C． 48 65

  D． 16 65
  组卷：212引用：3难度：0.6

  解析

• 7．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知b=1，2a-c=2cosC，则△ABC周长的最大值为（　　）

  A． 3 + 1

  B． 2 3 3 + 1

  C．3

  D． 3 - 3
  组卷：112引用：1难度：0.5

  解析

四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

• 21．“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦地里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块凸四边形ABCD的麦田里成为守望者，为了分割麦田，他将AC连结，经测量AD=DC=2，AB=1，BC=3．霍尔顿发现无论AC多长，3cosB-4cosD是定值．霍尔顿还发现麦田的生长与土地面积的平方和相关，记△ABC和△ADC的面积分别为S₁和S₂，为了更好地规划麦田，霍尔顿需要求出

  S

  2

  1

  +

  S

  2

  2

  的最大值．请你帮助霍尔顿解决以下问题：
  （1）求出3cosB-4cosD的值；
  （2）求

  S

  2

  1

  +

  S

  2

  2

  的最大值．
  组卷：53引用：1难度：0.6

  解析

• 22．在直角△ABC中，∠C=90°，AB=2AC=4，M为AB的中点，P，Q分别为线段AC，BC上异于C，B的动点，且∠PMQ=120°．
  （1）当∠MQB=120°时，求PQ的长度；
  （2）若N为PQ的中点，设∠MQB=θ（90°＜θ＜120°），求

  MN

  2

  -

  NP

  2

  的取值范围．
  组卷：66引用：1难度：0.5

  解析