2023年东北三省三校黑龙江省哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学高考数学四模试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）

• 1．已知集合A={（x,y）|y=x³}，B={（x,y）|y=4x}，则A∩B=（　　）

  A．{-2，0，2}	B．{（0，0）}
  C．{（0，0），（2，8）}	D．{（-2，-8），（0，0），（2，8）}
  组卷：42引用：3难度：0.8

  解析

• 2．已知i是虚数单位，复数z满足

  z

  1

  +

  i

  =

  2

  +

  i

  ，则（　　）

  A．z的实部为3

  B．z的虚部为1

  C． z z = 10

  D．z在复平面对应的点在第二象限
  组卷：106引用：4难度：0.8

  解析

• 3．第二十二届哈尔滨国际经济贸易洽谈会（简称“哈洽会”）将于2023年6月15日至19日在哈尔滨国际会展体育中心举办，搭建展示和对接的平台，进一步激活发展潜能，推动“一带一路”建设．本届“哈洽会”线下展览总面积共计6万平方米，拟设中俄地方经贸合作主题展区、港澳台及国际展区、省区市合作展区、产业合作展区、龙江振兴展区、机械设备展区六大展区、展区布局如图所示，则产业合作展区与龙江振兴展区相邻的概率为（　　）
  

  A． 1 3

  B． 1 2

  C． 2 3

  D． 3 4
  组卷：37引用：3难度：0.7

  解析

• 4．如图是北京2022年冬奥会会徽的图案，奥运五环的大小和间距如图所示．若圆半径均为12，相邻圆圆心水平路离为26，两排圆圆心垂直距离为11．设五个圆的圆心分别为O₁、O₂、O₃、O₄、O₅，则

  O

  4

  O

  1

  •

  （

  O

  4

  O

  5

  +

  O

  4

  O

  2

  ）

  的值为（　　）
  

  A．-507

  B．-386

  C．-338

  D．-242
  组卷：83引用：4难度：0.8

  解析

• 5．圆O：x²+y²=4与直线l：x+（λ-1）y-λ=0交于M、N，当|MN|最小时，λ的值为（　　）

  A．-2

  B．2

  C．-1

  D．1
  组卷：100引用：3难度：0.6

  解析

• 6．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，△PAD是正三角形，AB=2，平面PAD⊥平面ABCD，则PC与BD所成角的余弦值为（　　）

  A． 1 4

  B． 2 4

  C． 1 3

  D． 3 3
  组卷：199引用：3难度：0.7

  解析

• 7．已知锐角α，β满足

  cosα

  -

  sinα

  cosα

  +

  sinα

  =

  sin

  2

  β

  1

  -

  cos

  2

  β

  ，则tan（α-β）的值为（　　）

  A．1

  B． 3 3

  C．-1

  D． - 3
  组卷：187引用：3难度：0.7

  解析

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）

• 21．已知函数f（x）=

  ax

  e

  x

  和g（x）=

  lnx

  ax

  有相同的最大值．
  （1）求a；
  （2）证明：存在直线y=b,其与两条曲线y=f（x）和y=g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列．
  组卷：291引用：6难度：0.4

  解析

• 22．已知双曲线C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞0，b＞0）的渐近线方程为

  y

  =±

  3

  4

  x

  ，焦距为10，A₁，A₂为其左右顶点．
  （1）求C的方程；
  （2）设点P是直线l：x=2上的任意一点，直线PA₁、PA₂分别交双曲线C于点M、N，A₂Q⊥MN，垂足为Q，求证：存在定点R，使得|QR|是定值．
  组卷：70引用：2难度：0.2

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