2020年高中数学开放题专项练习（1）

• 1．在①S_n=2b_n-1，②-4b_n=b_n-1（n≥2），③b_n=b_n-1+2（n≥2）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求出k的值；若k不存在，说明理由．
  已知数列{a_n}为等比数列，a₁=

  2

  3

  ，a₃=a₁a₂，数列{b_n}的首项b₁=1，其前n项和为S_n，____，是否存在k,使得对任意n∈N*，a_nb_n≤a_kb_k恒成立？
  组卷：178引用：5难度：0.6

  解析

• 2．已知函数f（x）=log_kx（k为常数，k＞0且k≠1）．
  （1）在下列条件中选择一个______，使数列{a_n}是等比数列，说明理由；
  ①数列{f（a_n）}是首项为2，公比为2的等比数列；
  ②数列{f（a_n）}是首项为4，公差为2的等差数列；
  ③数列{f（a_n）}是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．
  （2）在（1）的条件下，当k=

  2

  时，设a_nb_n=

  2

  n

  +

  1

  4

  n

  2

  -

  1

  ，求数列{b_n}的前n项和T_n．
  组卷：225引用：14难度：0.6

  解析

• 3．现给出两个条件：①2c-

  3

  b=2acosB，②（2b-

  3

  c）cosA=

  3

  acosC．从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：
  在△ABC中，a,b,c分别为内角A，B，C所对的边，

  ，
  （Ⅰ）求A；
  （Ⅱ）若a=

  3

  -1，求△ABC面积的最大值．
  组卷：284引用：9难度：0.6

  解析

• 4．在①△ABC面积S_△ABC=2，②∠ADC=

  π

  6

  这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC．如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC=

  3

  π

  4

  ，∠BAC=∠DAC，______，CD=2AB=4，求AC．
  组卷：410引用：8难度：0.7

  解析

• 11．在①3c²=16S+3（b²-a²）；②5bcosC+4c=5a,这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
  在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S，已知_____．
  （1）求tanB的值；
  （2）若S=42，a=10，求b的值．
  组卷：355引用：12难度：0.6

  解析

• 12．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  2

  sin

  （

  ωx

  +

  φ

  ）

  +

  1

  （

  ω

  ＞

  0

  ，

  |

  φ

  |

  ＜

  π

  2

  ）

  ，f（x）图象上两相邻对称轴之间的距离为

  π

  2

  ； _______．
  （Ⅰ）在①f（x）的一条对称轴

  x

  =

  -

  π

  3

  ：
  ②f（x）的一个对称中心

  （

  5

  π

  12

  ，

  1

  ）

  ；
  ③f（x）的图象经过点

  （

  5

  π

  6

  ，

  0

  ）

  ．
  这三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式；
  （Ⅱ）若动直线x=t（t∈[0，π]）与f（x）和

  g

  （

  x

  ）

  =

  2

  3

  sinxcosx

  的图象分别交于P，Q两点，求线段PQ长度的最大值及此时t的值．
  组卷：185引用：5难度：0.7

  解析