2010年新课标七年级数学竞赛培训第26讲：整数整除的概念与性质

一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）

• 1．一个自然数与13的和是5的倍数，与13的差是6的倍数，则满足条件的最小自然数是

  ．
  组卷：184引用：1难度：0.9

  解析

• 2．如图，若a、b、c是两两不等的非零数码，按逆时针箭头指向组成的两位数

  ab

  、

  bc

  都是7的倍数，则可组成三位数

  abc

  共有

  个；其中最大的三位数与最小的三位数的和等于

  ．
  组卷：294引用：4难度：0.5

  解析

• 3．如果五位数

  12

  a

  34

  是3的倍数，那么a是

  ．
  组卷：89引用：1难度：0.7

  解析

• 4．如果从5，6，7，8，9这5个数中，选出4个组成一个四位数，使它能被3，5，7整除，那么这些数中最大的是

   

  ．
  组卷：91引用：1难度：0.9

  解析

• 5．已知整数

  13

  ab

  456

  能被198整除，那么a=

  ，b=

  ．
  组卷：132引用：2难度：0.5

  解析

• 6．在1，2，3，…，2000这2000个自然数中，有

  个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除．
  组卷：343引用：3难度：0.3

  解析

• 7．五位数

  abcde

  是9的倍数，其中

  abcd

  是4的倍数，那么

  abcde

  的最小值是

  ．
  组卷：123引用：2难度：0.7

  解析

• 8．一个三位自然数，当它分别被2，3，4，5，7除时，余数都是1，那么具有这个性质的最小三位数是

   

  ；最大三位数是

   

  ．
  组卷：99引用：2难度：0.1

  解析

• 9．今天是星期日，从今天算起，第

  111

  …

  1

  2000

  个

  1

  天是星期

  ．
  组卷：163引用：4难度：0.7

  解析

• 10．用自然数n去除63、91、130，所得到的3个余数的和为26，则n=

  ．
  组卷：104引用：1难度：0.7

  解析

二、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

• 11．有三个正整数a,b,c,其中a与b互质且b与c也互质．给出下面四个判断：
  ①（a+c）²不能被b整除②a²+c²不能被b整除③（a+b）²不能被c整除④a²+b²不能被c整除
  其中，不正确的判断有（　　）

  A．4个

  B．3个

  C．2个

  D．1个
  组卷：148引用：2难度：0.9

  解析

• 12．盒中原有7个球，一位魔术师从中任取几个球，把每一个小球都变成了7个小球，将其放回盒中，他又从盒中任取一些小球，把每一个小球又都变成了7个小球后放回盒中，如此进行，到某一时刻魔术师停止取球变魔术时，盒中球的总数可能是（　　）

  A．1990个

  B．1991个

  C．1992个

  D．1993个
  组卷：61引用：1难度：0.9

  解析

• 13．能整除任意3个连续整数之和的最大整数是（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．6
  组卷：329引用：6难度：0.9

  解析

三、解答题（共22小题，满分110分）

• 40．任给一个自然数N，把N的各位数字按相反的顺序写出来，得到一个新的自然数N′，试证明：|N-N′|能被9整除．
  组卷：37引用：1难度：0.5

  解析

• 41．证明：111¹¹¹+112¹¹²+113¹¹³能被10整除．
  组卷：77引用：1难度：0.5

  解析