2022-2023学年辽宁省大连市滨城高中联盟高二（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．已知直线l经过点A（2，-1）和点B（1，-4），则直线l的斜率为（　　）

  A．-5

  B．5

  C．-3

  D．3
  组卷：124引用：3难度：0.8

  解析

• 2．已知

  v

  1

  ，

  v

  2

  分别为直线l₁，l₂的方向向量（l₁，l₂不重合），

  n

  1

  ，

  n

  2

  分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中不正确的是（　　）

  A．若 v 1 ∥ v 2 ，l1⊥l2	B．若 v 1 ⊥ v 2 ，l1⊥l2
  C．若 n 1 ∥ n 2 ，α∥β	D．若 n 1 ⊥ n 2 ，α⊥β
  组卷：108引用：4难度：0.8

  解析

• 3．“a=-1”是“直线l₁：ax+4y-3=0与直线l₂：x+（a-3）y+2=0”平行的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：139引用：9难度：0.7

  解析

• 4．已知直线kx-y-k-1=0和以M（-3，1），N（3，2）为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（　　）

  A．k≤ 3 2	B． k ≥ - 1 2
  C． - 1 2 ≤k≤ 3 2	D．k≤ - 1 2 或k≥ 3 2
  组卷：566引用：5难度：0.8

  解析

• 5．唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x²+y²≤1，若将军从点A（3，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y=4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（　　）

  A． 3 2 - 1

  B．2

  C． 17

  D． 17 - 1
  组卷：161引用：6难度：0.5

  解析

• 6．已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=1和两点A（-m,0），B（m,0），（m＞0）．若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最小值为（　　）

  A．7

  B．6

  C．5

  D．4
  组卷：408引用：19难度：0.6

  解析

• 7．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为2，P为空间中一点．若

  AP

  =

  λ

  A

  D

  1

  （λ∈[0，1]），则异面直线BP和C₁D所成角的取值不可能是（　　）

  A． π 6

  B． π 4

  C． π 3

  D． π 2
  组卷：49引用：1难度：0.6

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

• 21．在△ABC中，点A（2，-1），AB边上中线所在直线方程为x+3y-6=0，∠ABC的内角平分线所在直线方程为x-y+1=0．
  （1）求点B的坐标；
  （2）求△ABC的边BC所在直线的方程．
  组卷：173引用：4难度：0.5

  解析

• 22．如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点M，N分别是边BC，CD的中点，AC∩BD=O₁，AC∩MN=G．沿MN将△CMN翻折到△PMN的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥P-ABMND．
  
  （1）在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论；
  （2）当四棱锥P-MNDB体积最大时，求直线PB和平面MNDB所成角的正弦值；
  （3）在（2）的条件下，在线段PA上是否存在一点Q，使得平面QDN与平面PMN所成角的余弦值为

  13

  13

  ？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．
  组卷：94引用：2难度：0.6

  解析