2015年全国100所名校单元测试示范数学试卷（理科）（14）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．在空间中，下列命题正确的是（　　）

  A．若 a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 共线

  B．若 a ⊥ b ， b ⊥ c ，则a与c共线

  C．若向量 OA ， OB ， OC 能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点不共面

  D．若 a ∥ b ，则存在唯一的实数λ，使得 a =λ b
  组卷：130引用：2难度：0.9

  解析

• 2．已知

  EF

  =（2，1，6），点E，F所在的直线与一个法向量为

  n

  =（-1，a,1）的平面平行，则实数a等于（　　）

  A．4

  B．-4

  C．8

  D．-8
  组卷：54引用：1难度：0.9

  解析

• 3．已知O是坐标原点，对于空间中任意一点P和不共线的三点A，B，C，满足：9

  OP

  =

  OA

  +3

  OB

  +5

  OC

  ，则（　　）

  A．P，A，B，C四点共面	B．O，A，B，C四点共面
  C．O，P，B，C四点共面	D．O，P，A，B，C五点共面
  组卷：125引用：1难度：0.9

  解析

• 4．已知平面α的一个法向量为

  n

  1

  =（1，-3，

  6

  ），平面β的一个法向量为

  n

  2

  =（5，1，

  6

  ），若α∩β=l,则二面角α-l-β的余弦值为（　　）

  A． 2 4	B．- 2 4
  C． 2 4 或- 2 4	D． 7 2 16 或- 7 2 16
  组卷：45引用：1难度：0.9

  解析

• 5．一个质点在三个大小相等且不为0的F₁，F₂，F₃的作用下保持静止状态，则以下判断正确的是（　　）

  A．三个力共线

  B．（F1•F2）•F3=0

  C．三个力的两两的夹角为 π 3

  D．三个力的两两夹角为 2 π 3
  组卷：80引用：1难度：0.7

  解析

• 6．已知A（1，0，0）、B（0，1，0）、C（0，0，1），则平面ABC的一个单位法向量是（　　）

  A．（ 3 3 ， 3 3 ，- 3 3 ）	B．（ 3 3 ，- 3 3 ， 3 3 ）
  C．（- 3 3 ， 3 3 ， 3 3 ）	D．（- 3 3 ，- 3 3 ，- 3 3 ）
  组卷：216引用：9难度：0.9

  解析

• 7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，

  BO

  =

  2

  3

  BD

  ，设

  PA

  =

  a

  ，

  PB

  =

  b

  ，

  PC

  =

  c

  ，则

  PO

  等于（　　）

  A．- 1 3 a + 2 3 b + 2 3 c	B． 1 3 a + 2 3 b + 2 3 c
  C． 2 3 a + 1 3 b + 2 3 c	D． 2 3 a - 1 3 b + 2 3 c
  组卷：68引用：1难度：0.7

  解析

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

• 21．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a,点P在边AB上，设

  AP

  =λ

  PB

  （λ＞0），过点P作PE∥BC交AC于E，作PF∥AC交BC于F，沿PE将△APE翻折成△A′PE，使平面A′PE⊥平面ABC，沿PE将△BPF翻折成△B′PF⊥平面ABC．
  （1）求证：B′C∥平面A′PE；
  （2）当二面角C-A′B′-P的余弦值为

  3

  3

  时，求出λ的值．
  组卷：17引用：1难度：0.5

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• 22．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O、E分别是A₁C、BC的中点，P是线段A₁O上一动点．
  （1）求直线PA₁与平面AB₁P所成角的正弦的取值范围；
  （2）当直线PA₁与平面AB₁P所成的角最大时，在平面A₁CD上是否存在一点Q，使得点Q同时满足下列两个条件：
  ①EQ⊥AP；
  ②|D₁Q|=

  5

  2

  ．若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：71引用：1难度：0.3

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