2018-2019学年上海中学高三（下）开学数学试卷

一、填空题

• 1．设集合A={x|x=

  3

  k

  +

  1

  ，k∈N}，B={x|x≤5，x∈Q}，则A∩B=

  ．
  组卷：25引用：2难度：0.7

  解析

• 2．在平面直角坐标系中，抛物线y=2x²的焦点到准线的距离是

  ．
  组卷：17引用：1难度：0.6

  解析

• 3．抽样统计甲，乙两个城市连续5天的空气质量指数（AQI），数据如下：
  

  城市	空气质量指数（AQI）
  	第1天	第2天	第3天	第4天	第5天
  甲	109	111	132	118	110
  乙	110	111	115	132	112

  则空气质量指数（AQI）较为稳定（方差较小）的城市为

   

  （填甲或乙）．
  组卷：22引用：3难度：0.9

  解析

• 4．设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，若a₁=1，公差d=2，S_n+2-S_n=36，则n=

   

  ．
  组卷：256引用：5难度：0.7

  解析

• 5．已知正实数x,y满足xy+2x+y=4，则x+y的最小值为

  ．
  组卷：817引用：19难度：0.7

  解析

• 6．若函数f（x）=

  - x + 6 ， x ≤ 2

  3 + lo g a x , x ＞ 2

  （a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是

  ．
  组卷：7891引用：95难度：0.5

  解析

• 7．已知正三棱锥的侧棱长为1，底面正三角形的边长为

  2

  ．现从该正三棱锥的六条棱中随机选取两条棱，则这两条棱互相垂直的概率是

  ．
  组卷：49引用：3难度：0.7

  解析

三、解答题

• 20．设函数f（x）=x²-ax+b.
  （Ⅰ）讨论函数f（sinx）在（-

  π

  2

  ，

  π

  2

  ）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；
  （Ⅱ）记f₀（x）=x²-a₀x+b₀，求函数|f（sinx）-f₀（sinx）|在[-

  π

  2

  ，

  π

  2

  ]上的最大值D；
  （Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a₀=b₀=0，求z=b-

  a

  2

  4

  满足条件D≤1时的最大值．
  组卷：1635引用：16难度：0.1

  解析

• 21．如果数列{a_n}同时满足：（1）各项均不为0，（2）存在常数k,对任意n∈N^*，a_n+1²=a_na_n+2+k都成立，则称这样的数列{a_n}为“类等比数列”．由此等比数列必定是“类等比数列”．问：
  （1）各项均不为0的等差数列{b_n}是否为“类等比数列”？说明理由．
  （2）若数列{a_n}为“类等比数列”，且a₁=a,a₂=b（a,b为常数），是否存在常数λ，使得a_n+a_n+2=λa_n+1对任意n∈N^*都成立？若存在，求出λ；若不存在，请举出反例．
  （3）若数列{a_n}为“类等比数列”，且a₁=a,a₂=b,k=a²+b²（a,b为常数），求数列{a_n}的前n项之和S_n；数列{S_n}的前n项之和记为T_n，求T_4k-3（k∈N^*）．
  组卷：136引用：3难度：0.1

  解析