2023年广东省深圳市龙岗区德琳学校高考数学一模试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合．

• 1．已知集合

  A

  =

  {

  x

  |

  x

  =

  sin

  nπ

  2

  ，

  n

  ∈

  Z

  }

  ，B={x|x=ab,a,b∈A}，则集合B的真子集个数是（　　）

  A．3

  B．4

  C．7

  D．8
  组卷：96引用：3难度：0.8

  解析

• 2．已知复数（1+i）（1-z）=1-i,则

  z

  的虚部为（　　）

  A．-2

  B．2

  C．1

  D．-1
  组卷：60引用：3难度：0.8

  解析

• 3．已知函数f（x）=ax³+bx在x=1处取得极大值4，则a-b=（　　）

  A．8

  B．-8

  C．2

  D．-2
  组卷：221引用：8难度：0.6

  解析

• 4．甲乙丙丁四名同学去听同时举行的三个讲座，每名同学可自由选择听其中的一个讲座，则甲乙二人正好听的同一讲座而丙丁听的不同讲座的情况为（　　）种．

  A．6

  B．10

  C．18

  D．36
  组卷：167引用：3难度：0.7

  解析

• 5．公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²a₁，若a₁，a₂，

  a

  k

  1

  ，

  a

  k

  2

  ，

  a

  k

  3

  依次成等比数列，则k₃=（　　）

  A．81

  B．63

  C．41

  D．32
  组卷：257引用：8难度：0.7

  解析

• 6．已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若

  A

  =

  π

  4

  ，则

  AB

  •

  OC

  的最大值为（　　）

  A． 1 2

  B． 2 2

  C．1

  D． 2
  组卷：169引用：3难度：0.8

  解析

• 7．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：

  θ

  =

  （

  θ

  1

  -

  θ

  0

  ）

  e

  -

  kt

  +

  θ

  0

  ，其中t为时间（单位：min），θ₀为环境温度，θ₁为物体初始温度，θ为冷却后温度．假设在室内温度为20°C的情况下，一杯饮料由100°C降低到60°C需要20min,则此饮料从60°C降低到40°C需要（　　）

  A．10min

  B．20min

  C．40min

  D．30min
  组卷：235引用：5难度：0.5

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．已知椭圆

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的长轴长是短轴长的

  2

  倍，过椭圆C的右焦点F的直线l与C交于P，Q两点，且当直线l的倾斜角为45°时，

  |

  PQ

  |

  =

  4

  2

  3

  ．
  （1）求椭圆C的方程；
  （2）若点P在x轴上方，E为线段PF的中点，椭圆C的左焦点为F'，直线PO（O为坐标原点）与EF'交于点A，求

  S

  △

  QF

  ′

  A

  S

  △

  PQF

  ′

  （S表示面积）的取值范围．
  组卷：69引用：3难度：0.5

  解析

• 22．已知函数f（x）=x（lnx-a）在区间[1，e]上的最小值为-1，函数

  g

  （

  x

  ）

  =

  m

  2

  x

  2

  -

  m

  ,

  a

  ,

  m

  ∈

  R

  ．
  （1）求a的值；
  （2）设函数F（x）=f（x）-g（x），x₁，x₂是F（x）的两个不同的极值点，且x₁＜x₂，证明：2lnx₁+3lnx₂＞5．
  组卷：97引用：3难度：0.4

  解析