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2023-2024学年江苏省南京市六校联合体高三（上）期中数学试卷

发布：2024/10/21 14:0:2

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
A
=
{
x
|
lo
g
2
x
≤
2
}
，
B
=
{
x
|
x
2
-
x
-
2
＜
0
}
，则A∪B=（　　）
A．（0，2） B．（-1，2） C．（-∞，4] D．（-1，4]
组卷：45引用：4难度：0.8
解析
2．若
a
，
b
是夹角为60°的两个单位向量，λ
a
+
b
与-3
a
+2
b
垂直，则λ=（　　）
A．
1
8
B．
1
4
C．
7
8
D．
7
4
组卷：613引用：9难度：0.8
解析
3．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为3
5
π，则原圆锥的母线长为（　　）
A．2 B．
5
C．4 D．
2
5
组卷：754引用：9难度：0.7
解析
4．已知x,y取表中的数值，若x,y具有线性相关关系，线性回归方程为
̂
y
=0.95x+2.6，则a=（　　）

x 0 1 3 4

y a 4.3 4.8 6.7

A．2.2 B．2.4 C．2.5 D．2.6
组卷：96引用：2难度：0.8
解析
5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（t,-1），若
cosα
=
5
5
，则
tan
（
α
+
π
4
）
=（　　）
A．-3 B．
1
3
C．
-
1
3
D．3
组卷：118引用：5难度：0.7
解析
6．已知数列{a_n}通项公式为
a
n
=
3
n
2
-
2
tn
+
2
，
n
≤
7
4
n
+
94
，
n
＞
7
，若对任意n∈N*，都有a_n+1＞a_n，则实数t的取值范围是（　　）
A．t∈[3，+∞） B．
t
∈
[
23
14
，
9
2
）
C．
t
∈
（
23
14
，
9
2
）
D．
t
∈
[
23
14
，
+
∞
）
组卷：153引用：5难度：0.6
解析
7．已知圆
C
1
：
x
2
+
y
2
=
b
2
（
b
＞
0
）
与双曲线
C
2
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
，若在双曲线C₂上存在一点P，使得过点P所作的圆C₁的两条切线，切点为A、B，且
∠
APB
=
π
3
，则双曲线C₂的离心率的取值范围是（　　）
A．
（
1
，
5
2
]
B．
[
5
2
，
+
∞
）
C．
（
1
，
3
]
D．
[
3
，
+
∞
）
组卷：554引用：24难度：0.6
解析

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四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

21．已知双曲线
C
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
经过点P（4，6），且离心率为2．
（1）求C的方程；
（2）过点P作y轴的垂线，交直线l：x=1于点M，交y轴于点N．设点A，B为双曲线C上的两个动点，直线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂，若k₁+k₂=2，求
S
△
MAB
S
△
NAB
．
组卷：382引用：8难度：0.5
解析
22．已知函数f（x）=e^x-
a
3
x
3
-
x
2
2
-2ax.
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）在[0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（3）若f（x）的最小值为1，求a.
组卷：356引用：6难度：0.2
解析

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A．t∈[3，+∞）	B． t ∈ [ 23 14 ， 9 2 ）
C． t ∈ （ 23 14 ， 9 2 ）	D． t ∈ [ 23 14 ， + ∞ ）

x	0	1	3	4
y	a	4.3	4.8	6.7

2023-2024学年江苏省南京市六校联合体高三（上）期中数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A={x|log2x≤2}，B={x|x2-x-2＜0}，则A∪B=（ ）

2．若a，b是夹角为60°的两个单位向量，λa+b与-3a+2b垂直，则λ=（ ）

3．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为35π，则原圆锥的母线长为（ ）

4．已知x,y取表中的数值，若x,y具有线性相关关系，线性回归方程为̂y=0.95x+2.6，则a=（ ） x 0 1 3 4 y a 4.3 4.8 6.7

5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（t,-1），若cosα=55，则tan（α+π4）=（ ）

6．已知数列{an}通项公式为an=3n2-2tn+2，n≤74n+94，n＞7，若对任意n∈N*，都有an+1＞an，则实数t的取值范围是（ ）

7．已知圆C1：x2+y2=b2（b＞0）与双曲线C2：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0），若在双曲线C2上存在一点P，使得过点P所作的圆C1的两条切线，切点为A、B，且∠APB=π3，则双曲线C2的离心率的取值范围是（ ）

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．已知函数f（x）=ex-a3x3-x22-2ax.（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）在[0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（3）若f（x）的最小值为1，求a.

1．已知集合
A
=
{
x
|
lo
g
2
x
≤
2
}
，
B
=
{
x
|
x
2
-
x
-
2
＜
0
}
，则A∪B=（　　）

2．若
a
，
b
是夹角为60°的两个单位向量，λ
a
+
b
与-3
a
+2
b
垂直，则λ=（　　）

3．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为3
5
π，则原圆锥的母线长为（　　）

4．已知x,y取表中的数值，若x,y具有线性相关关系，线性回归方程为
̂
y
=0.95x+2.6，则a=（　　）

x 0 1 3 4

y a 4.3 4.8 6.7

5．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（t,-1），若
cosα
=
5
5
，则
tan
（
α
+
π
4
）
=（　　）

6．已知数列{a_n}通项公式为
a
n
=
3
n
2
-
2
tn
+
2
，
n
≤
7
4
n
+
94
，
n
＞
7
，若对任意n∈N*，都有a_n+1＞a_n，则实数t的取值范围是（　　）

22．已知函数f（x）=e^x-
a
3
x
3
-
x
2
2
-2ax.
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）在[0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（3）若f（x）的最小值为1，求a.