2010年新课标七年级数学竞赛培训第18讲：乘法公式

一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）

• 1．（1）已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数可以是

  ．
  （2）已知（2000-a）（1998-a）=1999，那么（2000-a）²+（1998-a）²=

  ．
  组卷：354引用：1难度：0.9

  解析

• 2．观察下列各式：
  （x-1）（x+1）=x²-1
  （x-1）（x²+x+1）=x³-1
  （x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1，
  根据前面各式的规律可得（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x+1）=

  （其中n为正整数）．
  组卷：2509引用：76难度：0.9

  解析

• 3．已知a²+b²+4a-2b+5=0，则

  a

  +

  b

  a

  -

  b

  =

  ．
  组卷：241引用：20难度：0.5

  解析

• 4．计算：
  （1）1.2345²+0.7655²+2.469×0.7655=

  ；
  （2）1949²-1950²+1951²-1952²+…+1997²-1998²+1999²=

  ；
  组卷：175引用：1难度：0.9

  解析

• 5．如图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a,b的恒等式

  ．
  组卷：1037引用：16难度：0.5

  解析

• 6．已知：a+

  1

  a

  =5，则

  a

  4

  +

  a

  2

  +

  1

  a

  2

  =

  ．
  组卷：1415引用：11难度：0.7

  解析

• 7．你能很快算出1995²吗？
  为了解决这个问题，我们考查个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成10n+5（n为自然数），即求（10n+5）²的值，试分析n=1，n=2，n=3…这些简单情形，从中探索其规律，并归纳猜想出结论．
  （1）通过计算，探索规律．
  15²=225可写成100×1×（1+1）+25；25²=625可写成100×2×（2+1）+25；35²=1225可写成100×3×（3+1）+25；45²=2025可写成100×4×（4+1）+25；…75²=5625可写成

  ；85²=7225可写成

  ．
  （2）从第（1）题的结果，归纳、猜想得（10n+5）²=

  ．
  （3）根据上面的归纳猜想，请算出1995²=

  ．
  组卷：215引用：1难度：0.5

  解析

• 8．已知x²+y²+z²-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z=

  ．
  组卷：2335引用：9难度：0.7

  解析

• 9．（1）若x+y=10，x³+y³=100，则x²+y²=

  ．
  （2）若a-b=3，则a³-b³-9ab=

  ．
  组卷：403引用：1难度：0.5

  解析

• 10．1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两整数的平方差的个数是

  ．
  组卷：385引用：5难度：0.7

  解析

三、解答题（共10小题，满分82分）

• 29．若x+y=a+b,且x²+y²=a²+b²，求证：x¹⁹⁹⁷+y¹⁹⁹⁷=a¹⁹⁹⁷+b¹⁹⁹⁷．
  组卷：822引用：2难度：0.1

  解析

• 30．（1）请观察：25=5²，1225=35²，112225=335²，11122225=3335²…写出表示一般规律的等式，并加以证明．
  （2）26=5²+1²，53=7²+2²，26×53=1378，1378=37²+3²．任意挑选另外两个类似26、53的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗？你能说出其中的道理吗？
  注：有人称这样的数“不变心的数”．数学中有许多美妙的数，通过分析，可发现其中的奥秘．
  瑞士数学家欧拉曾对26（2）的性质作了更进一步的推广．他指出：可以表示为四个平方数之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为四个平方数之和．即（a²+b²+c²十d²）（e²+f²+g²+h²）=A²+B²+C²+D²．这就是著名的欧拉恒等式．
  组卷：1099引用：1难度：0.1

  解析