2023年辽宁省沈阳市东北育才学校高考数学最后一模试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．已知P，Q为R的两个非空真子集，若∁_RQ⫋∁_RP，则下列结论正确的是（　　）

  A．∀x∈Q，x∈P	B．∃x0∈∁RP，x0∈∁RQ
  C．∃x0∉Q，x0∈P	D．∀x∈∁RP，x∈∁RQ
  组卷：232引用：6难度：0.7

  解析

• 2．已知复数z满足（1+2i）z=i²⁰²³，则

  |

  z

  |

  =（　　）

  A． 1 5

  B． 5 5

  C． 3 5

  D． 2 5 5
  组卷：81引用：3难度：0.8

  解析

• 3．已知随机变量X，Y分别满足X～B（8，p），Y～N（μ，σ²），且期望E（X）=E（Y），又

  P

  （

  Y

  ≥

  3

  ）

  =

  1

  2

  ，则p=（　　）

  A． 1 8

  B． 1 4

  C． 3 8

  D． 5 8
  组卷：290引用：8难度：0.7

  解析

• 4．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，2BB₁=3AB，D是棱BC的中点，E在棱CC₁上，且CC₁=3CE，则异面直线A₁D与B₁E所成角的余弦值是（　　）

  A． 6 6

  B． 6 4

  C． 6 3

  D． 3 2
  组卷：505引用：6难度：0.5

  解析

• 5．若等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（　　）

  A．A+B=C	B．B2=AC
  C．A2+B2=C（A+B）	D．A（C-A）=B（B-A）
  组卷：122引用：2难度：0.6

  解析

• 6．设函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  cos

  （

  ωx

  -

  2

  π

  3

  ）

  （

  ω

  ＞

  0

  ）

  ，已知f（x）在[0，π]上有且仅有4个零点，则下列说法错误的是（　　）

  A．ω的取值范围是 [ 19 6 ， 25 6 ）

  B．y=f（x）的图象与直线y=1在（0，π）上的交点恰有2个

  C．y=f（x）的图象与直线y=-1在（0，π）上的交点可能有2个

  D．f（x）在（ π 4 ， π 2 ）上单调递减
  组卷：259引用：3难度：0.6

  解析

• 7．已知函数f（x）的定义域为R，若f（2x+1）-1为奇函数，

  f

  （

  3

  2

  x

  +

  2

  ）

  为偶函数，f（0）=3，则下列结论一定正确的是（　　）

  A．函数f（x）的周期为3	B．f（-1）=-1
  C．f（2023）=0	D．f（2022）=-1
  组卷：486引用：4难度：0.5

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

• 21．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，D（1，0），点P是在第一象限内C上的一个动点，当DP与x轴垂直时，

  |

  PF

  |

  =

  5

  4

  ，过点P作与C相切的直线l交y轴于点M，过点M作直线l的垂线交抛物线C于A，B两点．
  （1）求C的方程；
  （2）如图，连接PD并延长，交抛物线C于点Q．
  ①设直线AB，OQ（其中O为坐标原点）的斜率分别为k₁，k₂，证明：

  k

  1

  k

  2

  为定值；
  ②求

  S

  △

  OPQ

  S

  △

  ABD

  的最小值．
  组卷：277引用：5难度：0.5

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• 22．已知函数f（x）=xcosx,g（x）=asinx.
  （1）若a=1，证明：当

  x

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  时x＞g（x）＞f（x）；
  （2）当

  x

  ∈

  （

  -

  π

  2

  ，

  0

  ）

  ∪

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  时，

  f

  （

  x

  ）

  g

  （

  x

  ）

  ＜

  sinx

  x

  ，求a的取值范围．
  组卷：171引用：5难度：0.3

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