2008-2009学年高三（上）数学寒假作业（理科）

一、填空题（共200小题，每小题5分，满分1000分）

• 1．化简（cos225°+isin225°）²（其中i为虚数单位）的结果为

  ．
  组卷：14引用：2难度：0.9

  解析

• 2．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程是

  ．
  组卷：420引用：14难度：0.5

  解析

• 3．已知{（x,y）|（m+3）x+y=3m-4}∩{（x,y）|7x+（5-m）y-8=0}=∅，则直线（m+3）x+y=3m+4与坐标轴围成的三角形面积是

  ．
  组卷：62引用：4难度：0.7

  解析

• 4．将直线

  x

  +

  3

  y

  =

  0

  绕原点按顺时针方向旋转30°，所得直线与圆（x-2）²+y²=3的位置关系是

  ．
  组卷：27引用：3难度：0.7

  解析

• 5．直线

  y

  =

  3

  x

  +

  2

  m

  和圆x²+y²=n²相切，其中m、n∈N*，|m-n|≤5，试写出所有满足条件的有序实数对（m,n）：

  ．
  组卷：66引用：3难度：0.7

  解析

• 6．已知回归直线斜率的估计值为1.2，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为

  ．
  组卷：37引用：6难度：0.7

  解析

• 7．已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中假命题的有

  ．
  ①若a∥b,则α∥β；②若α⊥β，则a⊥b；③若a、b相交，则α、β相交；④若α、β相交，则a,b相交．
  组卷：22引用：4难度：0.7

  解析

• 8．已知三棱锥O-ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC=2x,OA=x,OB=y且x+y=3，则三棱锥O-ABC的体积最大时，其外接球的体积为

  ．
  组卷：61引用：3难度：0.5

  解析

• 9．若实数x、y满足

  （ x - y + 6 ） （ x + y - 6 ） ≥ 0

  1 ≤ x ≤ 4

  ，则

  y

  x

  的最大值是

  ．
  组卷：1引用：3难度：0.7

  解析

• 10．已知点P（a,b）与点Q（1，0）在直线2x-3y+1=0的两侧，则下列说法正确的是

  ．
  ①2a-3b+1＞0；
  ②a≠0时，

  b

  a

  有最小值，无最大值；
  ③∃M∈R⁺，使

  a

  2

  +

  b

  2

  ＞M恒成立；
  ④当a＞0且a≠1，b＞0时，则

  b

  a

  -

  1

  的取值范围为（-∞，-

  1

  3

  ）∪（

  2

  3

  ，+∞）．
  组卷：198引用：17难度：0.7

  解析

• 11．若z∈C且（3+z）i=1（i为虚数单位），则z=

  ．
  组卷：136引用：7难度：0.9

  解析

• 12．已知A={x|x-1＞a²}，B={x|x-4＜2a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是

  ．
  组卷：124引用：4难度：0.9

  解析

• 13．任意两正整数m、n之间定义某种运算⊕，m⊕n=

  m + n	（ m 与 n 同奇偶 ）
  mn	（ m 与 n 异奇偶 ）

  ，则集合M={（a,b）|a⊕b=36，a、b∈N^*}中元素的个数是

  ．
  组卷：37引用：2难度：0.9

  解析

• 14．设[x]表示不超过x的最大整数，则不等式[x]²-3[x]-10≤0的解集是

  ．
  组卷：19引用：3难度：0.9

  解析

• 15．已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+2n-1，则a₁+a₃+a₅+…+a₂₅=

  ．
  组卷：44引用：12难度：0.7

  解析

• 16．已知一个几何体的主视图及侧视图均是边长为2的正三角形，俯视图是直径为2的圆，则此几何体的外接球的表面积为

  ．
  组卷：20引用：9难度：0.7

  解析

• 17．已知△ABC的三个顶点A、B、C及△ABC所在平面内的一点P，

  PA

  +

  PB

  +

  PC

  =

  0

  ，若实数λ满足

  AB

  +

  AC

  =

  λ

  AP

  ，则实数λ等于

  ．
  组卷：198引用：2难度：0.9

  解析

• 18．函数f（x）=tanx在点（

  π

  4

  ，1）处的切线斜率是

  ．
  组卷：5引用：2难度：0.9

  解析

• 19．给出下列四个命题：①命题“∀x∈R，x²≥0”的否定是“∃x∈R，x²≤0”；②若a,b∈[0，1]，则不等式

  a

  2

  +

  b

  2

  ＜

  1

  4

  成立的概率是

  π

  4

  ；③函数y=log₂（x²-ax+2）在[2，+∞）上恒为正，则实数a的取值范围是

  （

  -

  ∞

  ，

  5

  2

  ）

  ．其中真命题的序号是

  ．（填上所有真命题的序号）
  组卷：104引用：6难度：0.7

  解析

• 20．如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是

  ．
  组卷：440引用：16难度：0.7

  解析

• 21．已知M={y|y=x²}，N={y|x²+y²=2}，则M∩N=

  ．
  组卷：228引用：11难度：0.9

  解析

• 22．函数

  y

  =

  lo

  g

  1

  2

  （

  x

  2

  -

  3

  x

  +

  2

  ）

  的增区间是

  ．
  组卷：740引用：25难度：0.7

  解析

• 23．若点P（cosα，sinα）在直线y=-2x上，则sin2α+2cos2α=

  ．
  组卷：85引用：16难度：0.7

  解析

• 24．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  lo

  g

  1

  2

  （

  x

  +

  1

  x

  ）

  ，给出以下四个命题：
  ①f（x）的定义域为（0，+∞）；
  ②f（x）的值域为[-1，+∞）；
  ③f（x）是奇函数；
  ④f（x）在（0，1）上单调递增．其中所有真命题的序号是

  ．
  组卷：56引用：5难度：0.7

  解析

• 25．某服装店同时卖出两套服装，卖出价为168元/套，以成本计算一套盈利20%，而另一套亏20%，则该店

  ．（赚或赔多少钱）．
  组卷：44引用：6难度：0.7

  解析

• 26．若方程x+log₄x=7的解所在区间是（n,n+1）（n∈N^*），则n=

  ．
  组卷：57引用：5难度：0.7

  解析

• 27．已知函数f（x）=-x²+ax+b²-b+1（a∈R，b∈R），对任意实数x都有f（1-x）=f（1+x）成立，若当x∈[-1，1]时，f（x）＞0恒成立，则b的取值范围是

  ．
  组卷：112引用：7难度：0.7

  解析

• 28．已知直线l、m,平面α、β，则下列命题中是真命题的序号是

  ．
  ①若α∥β，l⊂α，则l∥β；②若α∥β，l⊥α，则l⊥β；③若l∥α，m⊂α，则l∥m；④若α⊥β，α∩β=l,m⊂α，m⊥l,则m⊥β．
  组卷：37引用：3难度：0.7

  解析

• 29．与曲线

  x

  2

  24

  +

  y

  2

  49

  =

  1

  共焦点并且与曲线

  x

  2

  36

  -

  y

  2

  64

  =

  1

  共渐近线的双曲线方程为

  ．
  组卷：393引用：6难度：0.7

  解析

• 30．已知函数①f（x）=3lnx；②f（x）=3e^cosx；③f（x）=3e^x；④f（x）=3cosx.其中对于f（x）定义域内的任意一个自变量x₁都存在唯一个个自变量x₂，使

  f

  （

  x

  1

  ）

  f

  （

  x

  2

  ）

  =

  3

  成立的函数序号是

  ．
  组卷：76引用：13难度：0.7

  解析

• 31．已知

  a

  、

  b

  为任意非零向量，有下列命题：①|

  a

  |=|

  b

  |；②

  a

  ²=

  b

  ²；③若

  a

  ²=

  a

  •

  b

  ，其中可以作为

  a

  =

  b

  的必要不充分条件的命题是

  ．（填写序号）．
  组卷：6引用：2难度：0.9

  解析

• 32．已知等差数列{a_n}的公差d≠0，且a₁，a₃，a₉成等比数列，则

  a

  1

  +

  a

  3

  +

  a

  9

  a

  2

  +

  a

  4

  +

  a

  10

  的值是

  ．
  组卷：2706引用：56难度：0.5

  解析

• 33．已知点（x,y）在抛物线y²=4x上，则

  x

  2

  +

  1

  2

  y

  2

  +

  3

  的最小值是

  ．
  组卷：47引用：8难度：0.7

  解析

• 34．奇函数f（x）=ax³+bx²+cx在x=1处有极值，则3a+b+c的值为

  ．
  组卷：125引用：8难度：0.9

  解析

• 35．下列对于函数y=sinx+cosx的命题中，正确命题的序号为

  ．
  ①存在

  α

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  ，使

  f

  （

  α

  ）

  =

  4

  3

  ；②存在

  α

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  ，使f（x+α）=f（x+3α）；③存在θ∈R使函数f（x+θ）的图象关于y轴对称；④函数f（x）的图象关于点

  （

  3

  4

  π

  ，

  0

  ）

  对称．
  组卷：25引用：2难度：0.9

  解析

• 36．已知M是以F₁，F₂为焦点的椭圆

  x

  2

  7

  +

  y

  2

  3

  =

  1

  上的一点，O是坐标原点，若2MO=F₁F₂，则△F₁MF₂的面积是

  ．
  组卷：50引用：2难度：0.9

  解析

• 37．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，M，N分别是A₁B₁，AB的中点，P点在线段B₁C上，则NP与平面AMC₁的位置关系是

  ．
  组卷：149引用：2难度：0.9

  解析

• 38．以抛物线y²=4x的焦点为圆心、2为半径的圆，与过点A（-1，3）的直线l相切，则直线l的方程是

  ．
  组卷：24引用：6难度：0.7

  解析

• 39．若关于x的不等式组

  x 2 - x - 2 ＞ 0

  2 x 2 + （ 2 k + 5 ） x + 5 k ＜ 0

  的整数解集为{-2}，则实数k的取值范围是

  ．
  组卷：726引用：14难度：0.5

  解析

• 40．设一双曲线的两条渐近线方程为2x-y=0，2x+y=0，则双曲线的离心率是

  ．
  组卷：65引用：2难度：0.9

  解析

• 41．一组数据中的每一个数据都减去8，得到新数据，若求得新数据的平均数是1.2，则原来的数据的平均数是

  ．
  组卷：14引用：2难度：0.9

  解析

• 42．若命题甲：

  （

  1

  2

  ）

  x

  ，

  2

  2

  x

  ，

  2

  x

  成等比数列；命题乙：lgx,lg（x+1），lg（x+3）成等差数列，则甲是乙的

  条件．
  组卷：11引用：2难度：0.9

  解析

• 43．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17岁～18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如下．根据下图可得这100名学生中体重在[56.5，64.5]的学生人数是

  ．
  
  组卷：59引用：35难度：0.7

  解析

• 44．给定两个向量

  a

  =（3，4），

  b

  =（2，1），若（

  a

  +x

  b

  ）⊥（

  a

  -

  b

  ），则x的值等于

  ．
  组卷：110引用：7难度：0.7

  解析

• 45．如图，是计算

  1

  +

  1

  3

  +

  1

  5

  +

  …

  +

  1

  2009

  的流程图，判断框应填的内容是

  ，处理框应填的内容是

  ．
  组卷：7引用：2难度：0.9

  解析

• 46．函数

  y

  =

  |

  lo

  g

  1

  2

  x

  |

  的定义域为[a,b]，值域为[0，2]，则区间[a,b]的长b-a的最大值是

  ．
  组卷：32引用：3难度：0.9

  解析

• 47．如图，M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过

  2

  R的概率是

  ．
  组卷：31引用：6难度：0.7

  解析

• 48．考察下列一组不等式：

  2 3 + 5 3 ＞ 2 2 × 5 + 2 × 5 2

  2 4 + 5 4 ＞ 2 3 × 5 + 2 × 5 3

  2 5 2 + 5 5 2 ＞ 2 2 × 5 1 2 + 2 1 2 × 5 2

  …

  ，将上述不等式在左右两端视为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为

  ．
  组卷：22引用：10难度：0.7

  解析

• 49．i是虚数单位，计算

  1

  -

  i

  1

  +

  i

  +

  1

  +

  i

  1

  -

  i

  =

  ．
  组卷：5引用：2难度：0.9

  解析

• 50．三直线ax+2y-1=0，3x+y+1=0，2x-y+1=0不能围成一个三角形，则实数a的取值范围是

  ．
  组卷：468引用：5难度：0.7

  解析

• 51．给出下列条件：①ab＞0；②a＞0，b＞0；③a＜0，b＜0；④ab＜0．能使不等式

  b

  a

  +

  a

  b

  ≥

  2

  成立的条件序号是

  ．
  组卷：28引用：2难度：0.7

  解析

• 52．等比数列{a_n}的公比q＞1，且a₁＞0，若a₂a₄+a₄a₁₀-a₄a₆-a₅²=9，则a₃-a₇=

  ．
  组卷：14引用：2难度：0.7

  解析

• 53．在△ABC中，tanA是以-4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB是以

  1

  3

  为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则C=

  ．
  组卷：6引用：2难度：0.7

  解析

• 54．函数f（x）=x³-3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是

  ．
  组卷：57引用：16难度：0.7

  解析

• 55．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足

  AB

  •

  AC

  =

  0

  ，

  AC

  •

  AD

  =

  0

  ，

  AB

  •

  AD

  =

  0

  ，则△BCD是

  三角形
  组卷：48引用：5难度：0.5

  解析

• 56．在面积为2的等腰直角三角形ABC中（A为直角顶点），

  AB

  •

  BC

  =

  ．
  组卷：2引用：2难度：0.7

  解析

• 57．双曲线

  x

  2

  16

  -

  y

  2

  9

  =

  1

  上的点P到点（5，0）的距离为8.5，则点P到点（-5，0）的距离为

  ．
  组卷：355引用：5难度：0.7

  解析

• 58．已知全集为R，对a＞b＞0，集合M={x|b＜x＜

  a

  +

  b

  2

  }，N={x|

  ab

  ＜x＜a}，则M∩∁_RN=

  ．
  组卷：41引用：4难度：0.7

  解析

• 59．若关于x不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0恒成立，则a的取值范围是

  ．
  组卷：198引用：13难度：0.5

  解析

• 60．若y=f（x）是R上的函数，则函数y=f（2x）与y=f（1-2x）的图象关于直线

  对称．
  组卷：95引用：2难度：0.7

  解析

• 61．已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=x²+ax（a∈R），f（2）=6，则a=

  ．
  组卷：75引用：17难度：0.7

  解析

• 62．在等比数列{a_n}中，a₂a₁₀=6，a₂+a₁₀=5，则

  a

  18

  a

  10

  =

  ．
  组卷：14引用：2难度：0.7

  解析

• 63．在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则sinC=

  ．
  组卷：23引用：3难度：0.7

  解析

• 64．若a,b∈（0，+∞），且a+b=ab,则a²+b²的最小值是

  ．
  组卷：19引用：2难度：0.7

  解析

• 65．已知复数z₁=2+i,z₂=1+2i在复平面内对应的点分别为A，B，向量

  AB

  对应的复数为z,则在复平面内z所对应的点在第

  象限．
  组卷：23引用：3难度：0.7

  解析

• 66．如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是

  ．
  组卷：20引用：6难度：0.7

  解析

• 67．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若

  OB

  =a₁

  OA

  +a₂₀₀₉

  OC

  ，且A，B，C三点共线（O为该直线外一点），则S₂₀₀₉=

  ．
  组卷：152引用：5难度：0.7

  解析

• 68．若函数f（x）=x³-3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是

  ．
  组卷：100引用：34难度：0.7

  解析

• 69．一个路口，红灯、黄灯、绿灯亮的时间依次为30s,5s,40s,车辆到达路口，遇到黄灯或绿灯的概率为

  ．
  组卷：3引用：2难度：0.7

  解析

• 70．在平面内，如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形按图1所标边长，由勾股定理有：c²=a²+b²．设想正方形换成正方体，把截线换成如图2所示的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O-LMN，如果用S₁，S₂，S₃表示三个侧面面积，S₄表示截面面积，那么你类比得到的结论是

  ．
  
  组卷：55引用：28难度：0.7

  解析

• 71．若使集合M={x|ax²+2x+a=0，a∈R}中有且只有一个元素的所有a的值组成集合N，则N=

  ．
  组卷：40引用：2难度：0.7

  解析

• 72．已知集合M={

  b

  3

  ，8}，N={a^b，1}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x,则a+b的值为
  组卷：19引用：3难度：0.9

  解析

• 73．已知

  i

  =（1，0），

  j

  =（0，1）则

  i

  -2

  j

  与2

  i

  +

  j

  的夹角为
  组卷：9引用：2难度：0.7

  解析

• 74．点P（1，-2，4）关于点A（1，-1，a）的对称点是Q（b,c,-2），则a+b+c=

  ．
  组卷：29引用：2难度：0.7

  解析

• 75．设f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且

  f

  （

  x

  y

  ）

  =

  f

  （

  x

  ）

  -

  f

  （

  y

  ）

  ，若f（2）=1，则f（4）=

  ．
  组卷：3引用：2难度：0.7

  解析

• 76．设全集

  U

  =

  R

  ，

  M

  =

  {

  x

  |

  y

  =

  x

  2

  -

  4

  }

  ，

  N

  =

  {

  x

  |

  2

  x

  -

  1

  ≥

  1

  }

  都是U的子集（如图所示），则阴影部分所示的集合是

  ．
  组卷：28引用：2难度：0.7

  解析

• 77．已知G是△ABC的重心，过G的一条直线交AB、AC两点分别于E、F，且有

  AE

  =

  λ

  AB

  ，

  AF

  =

  μ

  AC

  ，则

  1

  λ

  +

  1

  μ

  =

  ．
  组卷：58引用：2难度：0.7

  解析

• 78．已知等差数列{a_n}中，a₁+a₂+a₃=3，若前n项和为18，且a_n-2+a_n-1+a_n=1，则n=

  ．
  组卷：31引用：2难度：0.5

  解析

• 79．若t＞4，则函数f（x）=cos2x+tsinx-t的最大值是

  ．
  组卷：8引用：2难度：0.7

  解析

• 80．已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x²+y²-2x-2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为

  ．
  组卷：2226引用：45难度：0.5

  解析

二、解答题（共40小题，满分600分）

• 239．将n²个数排成n行n列的一个数阵：
  a₁₁a₁₂a₁₃…a_1n
  a₂₁a₂₂a₂₃…a_2n
  a₃₁a₃₂a₃₃…a_3n
  …
  a_n1a_n2a_n3…a_nn
  已知a₁₁=2，a₁₃=a₆₁+1，该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列，其中m为正实数．
  （1）求第i行第j列的数a_ij；
  （2）求这n²个数的和．
  组卷：33引用：4难度：0.5

  解析

• 240．已知函数f（x）=-2x²+bx+c在x=1时有最大值1，
  （1）求f（x）的解析式；
  （2）若0＜m＜n,且x∈[m,n]时，f（x）的值域为

  [

  1

  n

  ，

  1

  m

  ]

  ．试求m,n的值．
  组卷：71引用：5难度：0.5

  解析