2021-2022学年浙江省杭州市西湖区学军中学紫金港校区高二（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．已知向量

  a

  =

  （

  0

  ，

  1

  ，-

  1

  ）

  ，

  b

  =

  （

  2

  ，

  x

  ,

  1

  ）

  ，且

  a

  ⊥

  b

  ，那么x等于（　　）

  A．-4

  B．-3

  C．0

  D．1
  组卷：96引用：3难度：0.8

  解析

• 2．焦点坐标为（0，-4），（0，4），且长半轴长为6的椭圆方程为（　　）

  A． x 2 36 + y 2 20 =1	B． x 2 16 + y 2 36 =1
  C． x 2 36 + y 2 16 =1	D． x 2 20 + y 2 36 =1
  组卷：2005引用：11难度：0.9

  解析

• 3．方程（3x-y+1）（y-

  1

  -

  x

  2

  ）=0表示的曲线为（　　）

  A．一条线段和半个圆	B．一条线段和一个圆
  C．一条线段和半个椭圆	D．两条线段
  组卷：485引用：13难度：0.8

  解析

• 4．已知

  a

  =（2，1，-3），

  b

  =（-1，2，3），

  c

  =（7，6，λ），若

  a

  ，

  b

  ，

  c

  共面，则λ等于（　　）

  A．-3

  B．3

  C．-9

  D．9
  组卷：660引用：18难度：0.8

  解析

• 5．假设a＞0，b＞0，若关于x,y的方程组

  ax + y = 1

  x + 2 by = 1

  无解，则4a+b的取值范围是（　　）

  A．[1，+∞）

  B． [ 2 ， + ∞ ）

  C． [ 3 ， + ∞ ）

  D． [ 2 2 ， + ∞ ）
  组卷：42引用：1难度：0.6

  解析

• 6．攒尖顶是中国传统建筑屋顶表现手法，多用于面积不大的建筑，如故宫的中和殿．攒尖根据脊数多少，分三角攒尖顶、四角攒尖顶、六角攒尖顶、八角攒尖顶，……，具有较强的艺术装饰效果．一建筑屋顶想采用攒尖形式，有三种设计方案，三角攒尖，四角攒尖，八角攒尖，若将三种方案中屋顶分别看成正三棱锥，正四棱锥，正八棱锥的侧面，且各正棱锥底面面积相同，各正棱锥侧面与底面所成角相等．那么三种设计中正棱锥侧面积最小的为（　　）

  A．三角攒尖

  B．四角攒尖

  C．八角攒尖

  D．面积一样大
  组卷：86引用：3难度：0.6

  解析

• 7．已知椭圆x²+

  y

  2

  b

  2

  =1（1＞b＞0）的左，右焦点分别为F₁，F₂，点M是椭圆上一点，点A是线段F₁F₂上一点，且∠F₁MF₂=2∠F₁MA=

  2

  π

  3

  ，

  |

  MA

  |

  =

  3

  2

  ，则该椭圆的离心率为（　　）

  A． 3 2

  B． 1 2

  C． 2 2 3

  D． 3 3
  组卷：95引用：2难度：0.6

  解析

四、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，△PAC中，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F分别是PC，PB的中点．
  （1）求证：BC⊥平面PAC；
  （2）记平面AEF与平面ABC的交线为直线l,点Q为直线l上动点，求直线PQ与平面AEF所成的角的取值范围．
  组卷：434引用：6难度：0.6

  解析

• 22．已知椭圆Γ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0）．经过点F₁且倾斜角为θ（0＜θ＜

  π

  2

  ）的直线l与椭圆Γ交于A，B两点（其中点A在x轴上方），△ABF₂的周长为8．
  
  （1）求椭圆的标准方程；
  （2）如图，将平面xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面AF₁F₂）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面BF₁F₂）互相垂直．
  ①若θ=

  π

  3

  ，求异面直线AF₁和BF₂所成角的余弦值；
  ②是否存在θ（0＜θ＜

  π

  2

  ），使得折叠后△ABF₂的周长为

  15

  2

  ？若存在，求tanθ的值；若不存在，说明理由．
  组卷：112引用：2难度：0.5

  解析