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2020年北京市中国人民大学附中高考数学保温试卷（二）

发布：2024/4/20 14:35:0

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．如果复数z=a²+a-2+（a²-3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为（　　）
A．-2 B．1 C．2 D．1或-2
组卷：659引用：38难度：0.9
解析
2．已知m∈（0，1），令a=log_m2，b=m²，c=2^m，那么a,b,c之间的大小关系为（　　）
A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜a＜b
组卷：328引用：6难度：0.9
解析
3．下列函数中，满足
（ⅰ）f（x）+f（-x）=0；
（ⅱ）在区间（0，1）上对任意x₁，x₂（x₁≠x₂）都有[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＞0的函数是（　　）
A．y=-x³ B．y=sin（-x） C．y=log₂|x| D．y=2^x-2^-x
组卷：29引用：1难度：0.8
解析
4．设
a
，
b
是向量，则“|
a
|=|
b
|”是“|
a
+
b
|=|
a
-
b
|”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
组卷：5141引用：26难度：0.9
解析
5．在四边形ABCD中，AB∥CD，设
AC
=
λ
AB
+
μ
AD
（
λ
，
μ
∈
R
）
．若
λ
+
μ
=
3
2
，则
|
CD
|
|
AB
|
=（　　）
A．
1
3
B．
1
2
C．1 D．2
组卷：677引用：7难度：0.6
解析
6．在空间直角坐标系O-xyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，
2
），若S₁，S₂，S₃分别表示三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（　　）
A．S₁=S₂=S₃ B．S₂=S₁且S₂≠S₃
C．S₃=S₁且S₃≠S₂ D．S₃=S₂且S₃≠S₁
组卷：1295引用：21难度：0.9
解析
7．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ₁℃，空气的温度是θ₀℃，经过t分钟后物体的温度θ℃可由公式
θ
=
θ
0
+
（
θ
1
-
θ
0
）
e
-
kt
求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有80℃的物体，放在20℃的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40℃，则k约等于（　　）（参考数据：ln3≈1.099）
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
组卷：303引用：3难度：0.9
解析

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三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

20．已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x²+3y²=4上，对角线BD所在直线的斜率为1．
（Ⅰ）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；
（Ⅱ）当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．
组卷：1192引用：11难度：0.5
解析
21．已知集合M⊆N*，且M中的元素个数n大于等于5．若集合M中存在四个不同的元素a,b,c,d,使得a+b=c+d,则称集合M是“关联的”，并称集合{a,b,c,d}是集合M的“关联子集”；若集合M不存在“关联子集”，则称集合M是“独立的”．
（Ⅰ）分别判断集合{2，4，6，8，10}和集合{1，2，3，5，8}是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；
（Ⅱ）已知集合{a₁，a₂，a₃，a₄，a₅}是“关联的”，且任取集合{a_i，a_j}⊆M，总存在M的关联子集A，使得{a_i，a_j}⊆A．若a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，求证：a₁，a₂，a₃，a₄，a₅是等差数列；
（Ⅲ）集合M是“独立的”，求证：存在x∈M，使得
x
＞
n
2
-
n
+
9
4
．
组卷：534引用：10难度：0.1
解析

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A．充分而不必要条件	B．必要而不充分条件
C．充分必要条件	D．既不充分也不必要条件

A．S₁=S₂=S₃	B．S₂=S₁且S₂≠S₃
C．S₃=S₁且S₃≠S₂	D．S₃=S₂且S₃≠S₁

2020年北京市中国人民大学附中高考数学保温试卷（二）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．如果复数z=a2+a-2+（a2-3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为（ ）

2．已知m∈（0，1），令a=logm2，b=m2，c=2m，那么a,b,c之间的大小关系为（ ）

3．下列函数中，满足（ⅰ）f（x）+f（-x）=0；（ⅱ）在区间（0，1）上对任意x1，x2（x1≠x2）都有[f（x1）-f（x2）]（x1-x2）＞0的函数是（ ）

4．设a，b是向量，则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的（ ）

5．在四边形ABCD中，AB∥CD，设AC=λAB+μAD（λ，μ∈R）．若λ+μ=32，则|CD||AB|=（ ）

6．在空间直角坐标系O-xyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，2），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

20．已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；（Ⅱ）当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．

1．如果复数z=a²+a-2+（a²-3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为（　　）

2．已知m∈（0，1），令a=log_m2，b=m²，c=2^m，那么a,b,c之间的大小关系为（　　）

3．下列函数中，满足
（ⅰ）f（x）+f（-x）=0；
（ⅱ）在区间（0，1）上对任意x₁，x₂（x₁≠x₂）都有[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＞0的函数是（　　）

4．设
a
，
b
是向量，则“|
a
|=|
b
|”是“|
a
+
b
|=|
a
-
b
|”的（　　）

5．在四边形ABCD中，AB∥CD，设
AC
=
λ
AB
+
μ
AD
（
λ
，
μ
∈
R
）
．若
λ
+
μ
=
3
2
，则
|
CD
|
|
AB
|
=（　　）

6．在空间直角坐标系O-xyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，
2
），若S₁，S₂，S₃分别表示三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（　　）

20．已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x²+3y²=4上，对角线BD所在直线的斜率为1．
（Ⅰ）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；
（Ⅱ）当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．