2023-2024学年上海市黄浦区大同中学高三（上）开学数学试卷

一、填空题（本大题共12小题，满分54分，前6小题每题4分，后6小题每题5分）

• 1．不等式|x-2|＜3的解集是

  ．
  组卷：62引用：4难度：0.8

  解析

• 2．若

  a

  =（-3，3），

  b

  =（1，2），则

  a

  •

  b

  =

  ．
  组卷：24引用：1难度：0.9

  解析

• 3．若数列{a_n}为首项为3，公比为2的等比数列，则S₇=

  ．
  组卷：72引用：1难度：0.8

  解析

• 4．已知tanα=3，则cos2α=

  ．
  组卷：234引用：4难度：0.7

  解析

• 5．已知函数f（x）=

  2 - x ， x ＞ 0

  1 ， x ≤ 0

  ，则f（x）的值域为

  ．
  组卷：86引用：2难度：0.8

  解析

• 6．已知复数z=2+i,则|1-iz|=

  ．
  组卷：13引用：1难度：0.8

  解析

• 7．已知圆x²+y²-4x-m=0的面积为π，则m=

  ．
  组卷：1380引用：6难度：0.7

  解析

三、解答题（本大题满分78分）

• 20．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F恰为椭圆

  y

  2

  a

  2

  +x²=1（a＞1）的一个顶点，且抛物线通径（过抛物线的焦点F且与其对称轴垂直的弦）的长等于椭圆的两准线间的距离．
  （1）求抛物线及椭圆的标准方程；
  （2）过点F作两条直线l₁，l₂，且l₁，l₂的斜率之积为-1．
  ①设直线l₁交抛物线于A，B两点，l₂交抛物线于C，D两点，求

  1

  |

  AB

  |

  +

  1

  |

  CD

  |

  的值；
  ②设直线l₁，l₂与椭圆的另一个交点分别为M，N，求△FMN面积的最大值．
  组卷：57引用：1难度：0.4

  解析

• 21．已知函数f（x）=

  lnx

  x

  和g（x）=

  x

  e

  x

  ，它们的图像分别为曲线C₁和C₂．
  （1）求函数f（x）的单调区间；
  （2）证明：曲线C₁和C₂有唯一交点；
  （3）设直线y=a与两条曲线C₁、C₂共有三个不同交点，并且从左到右的三个交点的横坐标依次为x₁，x₂，x₃，求证：x₁，x₂，x₃成等比数列．
  组卷：57引用：3难度：0.3

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