2023-2024学年浙江省杭州二中高三（上）第一次月考数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．已知集合U={x|x²-2x-3＜0}，集合A={x|log₂（x+1）＜1}，则∁_UA=（　　）

  A．（-1，1）

  B．（-1，1]

  C．（1，3）

  D．[1，3）
  组卷：248引用：4难度：0.8

  解析

• 2．设i是虚数单位，已知复数z满足（1-i）z=1+（a-1）i（a∈R），且复数z是纯虚数，则实数a=（　　）

  A． - 1 2

  B． 1 2

  C．1

  D．2
  组卷：36引用：3难度：0.7

  解析

• 3．为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：
  高三一班：36.1，36.2，m,36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃），
  高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，n,37.1（单位：℃）
  若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则n-m为（　　）

  A．0.6

  B．0.5

  C．0.4

  D．0.3
  组卷：363引用：3难度：0.8

  解析

• 4．苏格兰数学家纳皮尔（J．Napier,1550-1617）发明的对数及对数表（如表），为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间．即就是任何一个正实数N可以表示成N=a×10ⁿ（1≤a＜10，n∈Z），则lgN=n+lga（0≤lga＜1），这样我们可以知道N的位数．已知正整数M³¹是35位数，则M的值为（　　）
  

  N	2	3	4	5	11	12	13	14	15
  lgN	0.30	0.48	0.60	0.70	1.04	1.08	1.11	1.15	1.18

  A．3

  B．12

  C．13

  D．14
  组卷：242引用：9难度：0.7

  解析

• 5．在平面直角坐标系xOy中，已知P（3，4），长度为2的线段AB的端点分别落在x轴和y轴上，则

  PA

  •

  PB

  的取值范围是（　　）

  A． [ 2 ， 6 ]

  B．[3，5]

  C．[4，6]

  D．[15，35]
  组卷：180引用：4难度：0.5

  解析

• 6．已知两个圆锥的母线长均为6，它们的侧面展开图恰好拼成一个半圆，若它们的侧面积之比是1：2，则它们的体积之和是（　　）

  A． 35 + 16 2 3 π

  B． 32 5 + 16 2 3 π

  C． 16 70 9 π

  D． （ 35 + 16 2 ） π
  组卷：69引用：2难度：0.6

  解析

• 7．已知cos（40°-θ）+cos（40°+θ）+cos（80°-θ）=0，则tanθ=（　　）

  A． - 3

  B． - 3 3

  C． 3 3

  D． 3
  组卷：531引用：10难度：0.7

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

• 21．设双曲线C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点O为坐标原点，过点F的直线l与C的右支相交于A，B两点．
  （1）当直线l与x轴垂直时，OA⊥OB，求C的离心率；
  （2）当C的焦距为2时，∠AOB恒为锐角，求C的实轴长的取值范围．
  组卷：235引用：4难度：0.3

  解析

• 22．已知函数f（x）=x+ksinx,其中0＜k≤1．
  （1）设函数g（x）=

  1

  2

  x²-f（x），证明：
  ①g（x）有且仅有一个极小值点；
  ②记x₀是g（x）的唯一极小值点，则g（x₀）＜-

  1

  2

  x₀；
  （2）若k=1，直线l与曲线y=f（x）相切，且有无穷多个切点，求所有符合上述条件的直线l的方程．
  组卷：177引用：2难度：0.3

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