沪教版高二（下）高考题同步试卷：12.8 抛物线的性质（03）

一、解答题（共30小题）

• 1．圆x²+y²=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）．
  （Ⅰ）求点P的坐标；
  （Ⅱ）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y=x+

  3

  交于A、B两点，若△PAB的面积为2，求C的标准方程．
  组卷：995引用：10难度：0.1

  解析

• 2．如图，设椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．
  （Ⅰ）已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标；
  （Ⅱ）若过原点O的直线l₁与l垂直，证明：点P到直线l₁的距离的最大值为a-b.
  组卷：2373引用：8难度：0.1

  解析

• 3．平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的离心率为

  3

  2

  ，左、右焦点分别是F₁，F₂，以F₁为圆心以3为半径的圆与以F₂为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．
  （Ⅰ）求椭圆C的方程；
  （Ⅱ）设椭圆E：

  x

  2

  4

  a

  2

  +

  y

  2

  4

  b

  2

  =1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．
  （ⅰ）求|

  OQ

  OP

  |的值；
  （ⅱ）求△ABQ面积的最大值．
  组卷：5488引用：17难度：0.5

  解析

• 4．已知椭圆E：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的半焦距为c,原点O到经过两点（c,0），（0，b）的直线的距离为

  1

  2

  c.
  （Ⅰ）求椭圆E的离心率；
  （Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）²+（y-1）²=

  5

  2

  的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．
  组卷：5042引用：43难度：0.5

  解析

• 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的离心率为

  2

  2

  ，且右焦点F到左准线l的距离为3．
  （1）求椭圆的标准方程；
  （2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．
  组卷：4822引用：7难度：0.5

  解析

• 6．如图，椭圆E：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）经过点A（0，-1），且离心率为

  2

  2

  ．
  （Ⅰ）求椭圆E的方程；
  （Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2．
  组卷：10182引用：36难度：0.5

  解析

• 7．已知椭圆C：x²+3y²=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．
  （1）求椭圆C的离心率；
  （2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；
  （3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．
  组卷：3072引用：15难度：0.5

  解析

• 8．已知椭圆

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的左焦点为F（-c,0），离心率为

  3

  3

  ，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x²+y²=

  b

  2

  4

  截得的线段的长为c,|FM|=

  4

  3

  3

  ．
  （Ⅰ）求直线FM的斜率；
  （Ⅱ）求椭圆的方程；
  （Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于

  2

  ，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围．
  组卷：5235引用：15难度：0.5

  解析

• 9．已知椭圆

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的上顶点为B，左焦点为F，离心率为

  5

  5

  ．
  （Ⅰ）求直线BF的斜率．
  （Ⅱ）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B），直线PQ与y轴交于点M，|PM|=λ|MQ|．
  （i）求λ的值．
  （ii）若|PM|sin∠BQP=

  7

  5

  9

  ，求椭圆的方程．
  组卷：2998引用：5难度：0.5

  解析

• 10．椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1，（a＞b＞0）的离心率

  2

  2

  ，点（2，

  2

  ）在C上．
  （1）求椭圆C的方程；
  （2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
  组卷：8060引用：37难度：0.3

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一、解答题（共30小题）

• 29．过抛物线E：x²=2py（p＞0）的焦点F作斜率分别为k₁，k₂的两条不同直线l₁，l₂，且k₁+k₂=2．l₁与E交于点A，B，l₂与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l.
  （Ⅰ）若k₁＞0，k₂＞0，证明：

  FM

  •

  FN

  ＜

  2

  p

  2

  ；
  （Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为

  7

  5

  5

  ，求抛物线E的方程．
  组卷：1438引用：8难度：0.1

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• 30．如图，椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  经过点P（1，

  3

  2

  ），离心率e=

  1

  2

  ，直线l的方程为x=4．
  （1）求椭圆C的方程；
  （2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k₁，k₂，k₃．问：是否存在常数λ，使得k₁+k₂=λk₃？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
  组卷：4944引用：77难度：0.1

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