2010年竞赛辅导：整数的基本知识4

一、选择题（共3小题，每小题4分，满分12分）

• 1．5¹⁹⁹⁹的末三位数是（　　）

  A．025

  B．125

  C．625

  D．825
  组卷：91引用：1难度：0.9

  解析

• 2．若自然数n使得作竖式加法n+（n+1）+（n+2）时均不产生进位现象，便称n为“连绵数”．如因为12+13+14不产生进位现象，所以12是“连绵数”；但13+14+15产生进位现象，所以13不是“连绵数”，则小于100的“连绵数”共有（　　）个．

  A．9

  B．11

  C．12

  D．15
  组卷：345引用：3难度：0.9

  解析

• 3．小于1000既不能被5整除，又不能被7整除的自然数的个数为（　　）

  A．658

  B．648

  C．686

  D．688
  组卷：197引用：1难度：0.7

  解析

二、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）

• 4．2^m+2006+2^m（m是正整数）的末位数字是

   

  ．
  组卷：126引用：2难度：0.1

  解析

• 5．满足[x•y]=6，[y•z]=15的正整数组（x,y,z）共有

  组．
  组卷：71引用：1难度：0.7

  解析

三、解答题（共9小题，满分93分）

• 14．如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax²+bx+c的值都是平方数（即整数的平方），
  证明：（1）2a,2b,c都是整数；
  （2）a,b,c都是整数，并且c是平方数；
  （3）反过来，如（2）成立，是否对一切x的整数值，x的二次三项式ax²+bx+c的值都是平方数？
  组卷：348引用：6难度：0.1

  解析

• 15．沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a,b,c,d满足不等式（a-d）（b-c）＞0，那么就可以交换b,c的位置，这称为一次操作．
  （1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d,都有（a-d）（b-c）≤0？请说明理由．
  （2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，…，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a,b,c,d,都有（a-d）（b-c）≤0？请说明理由．
  
  组卷：114引用：4难度：0.5

  解析