2020-2021学年辽宁省沈阳二十中高一（下）期中数学试卷

一、选择题

• 1．已知平面向量

  a

  =（cos2，sin2），

  |

  b

  |

  =2，

  a

  与

  b

  的夹角为120°，则

  a

  •

  b

  =（　　）

  A．-2

  B．-1

  C．2

  D．- 3
  组卷：19引用：1难度：0.8

  解析

• 2．已知角α终边上一点P的坐标为（sin15°，cos15°），则cos2α=（　　）．

  A． 1 2

  B． 3 2

  C． - 3 2

  D． - 1 2
  组卷：24引用：1难度：0.8

  解析

• 3．在三角形ABC中，记S为△ABC的面积，已知

  AB

  •

  AC

  +

  S

  =

  0

  ，则sin2A+cos²A=（　　）．

  A．- 3 5

  B．1

  C．-1

  D． 3 2
  组卷：18引用：3难度：0.5

  解析

• 4．沈阳彩电塔坐落于沈阳市沈河区青年大街南运河带状公园湖畔，是沈阳城市标志性建筑之一，曾被誉为亚洲同类结构第一高塔和东北地区最高的建筑，是集旅游观光、餐饮娱乐、广播电视发射为一体的多功能电视塔．沈阳市第二十中学的学生理论联系实践，试验用无人机测量彩电塔的高度．首先控制无人机悬停在空中A点，测得塔底的俯角为60°，塔尖的仰角为30°；然后控制无人机从A点竖直向上升高150m至B点，因高度升高导致距塔底距离过远而无法测得塔底俯角，只能测得塔尖的俯角为30°．（可能用到的数据：

  2

  ≈1.414，

  3

  ≈1.732）．根据以上信息，下列结论正确的是（　　）

  A．因在B点处无法测得塔底俯角，缺少数据，无法求得彩电塔的高度

  B．彩电塔的高度约为282.8m

  C．彩电塔的高度约为300m

  D．彩电塔的高度约为346.4m
  组卷：10引用：1难度：0.7

  解析

• 5．如图，定义满足OA=OB=

  ˆ

  AB

  的扇形为“等边扇形”．已知“等边扇形”AOB的面积为
  π²，则该扇形的周长为（　　）

  A．3π

  B． 3 π

  C．3 2 π

  D．3 3 π
  组卷：19引用：1难度：0.9

  解析

• 6．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=2，P是线段AB上一动点，则

  AB

  •

  PC

  -

  AB

  •

  PD

  的值（　　）

  A．与P的位置有关，取值范围为[-2，2]

  B．与P的位置有关，取值范围为[-4，4]

  C．与P的位置无关，恒为定值4

  D．与P的位置无关，恒为定值-2
  组卷：21引用：1难度：0.8

  解析

• 7．已知复数z满足z•

  z

  =z+

  1

  2

  i,则z=（　　）．

  A．1+ 1 2 i

  B． 1 2 - 1 2 i

  C．1- 1 2 i

  D．- 1 2 i
  组卷：18引用：1难度：0.7

  解析

三、解答题

• 21．已知函数f（x）=cos⁴x-sin⁴x+2sin²（x+

  π

  4

  ）-1．
  （1）求f（x）的值域；
  （2）首先将f（x）的图像上的所有点向右平移

  3

  π

  16

  个单位，然后再将所得图像上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，并将所得图像对应的函数记为g（x），设h（x）=f（x）-g（x），若对于∀x₁•x₂∈R，均有|h（x₂）-h（x₁）|≤M恒成立，试求实数M的取值范围．
  组卷：26引用：1难度：0.6

  解析

• 22．定义：对于一般函数f（x），若存在实数m使函数g（x）=f（x）+f（x+m）为奇函数，则称实数m为函数f（x）的一个“和奇变点”；类似地，若存在实数n使函数h（x）=f（x）•f（x+n）为偶函数，则称实数n为函数f（x）的一个“积偶变点“
  （1）若已知函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的最小正“和奇变点”为

  π

  4

  ，试求φ；
  （2）试求函数f （x）=sin（2x+

  π

  3

  ）的最小正“积偶变点”；
  （3）试拓展以上定义（不用写出）并回答函数f（x）=sin（2x+

  π

  3

  ）是否存在最小正“和偶变点”和最小正“积奇变点”．（回答格式为“存在最小正××变点为具体数值/不存在最小正××变点”，不需给出推理过程）
  组卷：24引用：1难度：0.5

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