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2023-2024学年北京市清华大学附中高二（上）期中数学试卷

发布：2024/10/7 1:0:1

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．在复平面内，复数
z
=
1
-
3
i
1
-
i
，则|z|等于（　　）
A．
2
B．
3
C．2 D．
5
组卷：64引用：5难度：0.8
解析
2．已知向量
a
=
（
1
，
2
）
，
a
-
b
=
（
4
，-
2
）
，则
cos
〈
a
，
b
〉
等于（　　）
A．
1
5
B．
2
5
C．
5
5
D．
2
5
5
组卷：244引用：4难度：0.8
解析
3．已知函数
f
（
x
）
=
3
sin
（
4
x
+
φ
）
（
0
＜
φ
＜
π
2
）
满足
f
（
π
12
）
=
3
，则
f
（
π
3
）
等于（　　）
A．3 B．
3
2
C．0 D．-3
组卷：211引用：3难度：0.5
解析
4．已知平面α与平面β间的距离为3，定点A∈α，设集合S={B∈β|AB=5}，则S表示的曲线的长度为（　　）
A．6π B．8π C．10π D．12π
组卷：46引用：3难度：0.7
解析
5．已知函数f（x）=ln（x+1），则
f
（
1
）
，
f
（
2
）
2
，
f
（
3
）
3
的大小关系为（　　）
A．
f
（
1
）
＜
f
（
2
）
2
＜
f
（
3
）
3
B．
f
（
3
）
3
＜
f
（
1
）
＜
f
（
2
）
2
C．
f
（
3
）
3
＜
f
（
2
）
2
＜
f
（
1
）
D．
f
（
2
）
2
＜
f
（
1
）
＜
f
（
3
）
3
组卷：613引用：12难度：0.8
解析
6．已知直线l恒过点（0，5），圆C：（x-3）²+y²=9，则“直线l的斜率为
-
8
15
”是“直线l与圆C相切”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
组卷：74引用：4难度：0.6
解析
7．在△ABC中，
sin
B
=
2
sin
A
，
∠
C
=
105
°
，
c
=
3
+
1
，则△ABC的面积为（　　）
A．
3
-
1
2
B．
3
-
1
C．
3
+
1
2
D．
3
+
1
组卷：123引用：3难度：0.6
解析

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三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步验或证明过程．

20．已知函数f（x）=ax+
b
x
+
2
ln
（
1
-
x
）
，曲线y=f（x）在（-1，f（-1））处的切线方程为y+3-2ln2=0．
（1）求a,b的值；
（2）求函数f（x）的定义域及单调区间；
（3）求函数f（x）的零点的个数．
组卷：129引用：4难度：0.3
解析
21．设k,m是正整数，如果存在非负整数a₁，a₂，⋯，a_k，c₁，c₂，⋯，c_k使得
m
=
k
∑
i
=
1
（
-
1
）
a
i
2
c
i
，则称m是k-好数，否则称m是k-坏数．例如：2=（-1）⁰•2⁰+（-1）⁰•2⁰，所以2是2-好数．
（1）分别判断22，23，24是否为3-好数；
（2）若m是偶数且是k-好数，求证：m是（k+1）-好数，且
m
2
是k-好数；
（3）求最少的2023-坏数．
组卷：172引用：3难度：0.2
解析

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A． f （ 1 ）＜ f （ 2 ） 2 ＜ f （ 3 ） 3	B． f （ 3 ） 3 ＜ f （ 1 ）＜ f （ 2 ） 2
C． f （ 3 ） 3 ＜ f （ 2 ） 2 ＜ f （ 1 ）	D． f （ 2 ） 2 ＜ f （ 1 ）＜ f （ 3 ） 3

A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
C．充分必要条件	D．既不充分也不必要条件

2023-2024学年北京市清华大学附中高二（上）期中数学试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．在复平面内，复数z=1-3i1-i，则|z|等于（ ）

2．已知向量a=（1，2），a-b=（4，-2），则cos〈a，b〉等于（ ）

3．已知函数f（x）=3sin（4x+φ）（0＜φ＜π2）满足f（π12）=3，则f（π3）等于（ ）

4．已知平面α与平面β间的距离为3，定点A∈α，设集合S={B∈β|AB=5}，则S表示的曲线的长度为（ ）

5．已知函数f（x）=ln（x+1），则f（1），f（2）2，f（3）3的大小关系为（ ）

6．已知直线l恒过点（0，5），圆C：（x-3）2+y2=9，则“直线l的斜率为-815”是“直线l与圆C相切”的（ ）

7．在△ABC中，sinB=2sinA，∠C=105°，c=3+1，则△ABC的面积为（ ）

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步验或证明过程．

20．已知函数f（x）=ax+bx+2ln（1-x），曲线y=f（x）在（-1，f（-1））处的切线方程为y+3-2ln2=0．（1）求a,b的值；（2）求函数f（x）的定义域及单调区间；（3）求函数f（x）的零点的个数．

1．在复平面内，复数
z
=
1
-
3
i
1
-
i
，则|z|等于（　　）

2．已知向量
a
=
（
1
，
2
）
，
a
-
b
=
（
4
，-
2
）
，则
cos
〈
a
，
b
〉
等于（　　）

3．已知函数
f
（
x
）
=
3
sin
（
4
x
+
φ
）
（
0
＜
φ
＜
π
2
）
满足
f
（
π
12
）
=
3
，则
f
（
π
3
）
等于（　　）

4．已知平面α与平面β间的距离为3，定点A∈α，设集合S={B∈β|AB=5}，则S表示的曲线的长度为（　　）

5．已知函数f（x）=ln（x+1），则
f
（
1
）
，
f
（
2
）
2
，
f
（
3
）
3
的大小关系为（　　）

6．已知直线l恒过点（0，5），圆C：（x-3）²+y²=9，则“直线l的斜率为
-
8
15
”是“直线l与圆C相切”的（　　）

7．在△ABC中，
sin
B
=
2
sin
A
，
∠
C
=
105
°
，
c
=
3
+
1
，则△ABC的面积为（　　）

20．已知函数f（x）=ax+
b
x
+
2
ln
（
1
-
x
）
，曲线y=f（x）在（-1，f（-1））处的切线方程为y+3-2ln2=0．
（1）求a,b的值；
（2）求函数f（x）的定义域及单调区间；
（3）求函数f（x）的零点的个数．